Globales und Lokales Verhalten von Deformationen

Quasikonforme Elastizität ist ein aktueller Forschungstrend am Schnittpunkt von quasikonformer Analysis, Variationsrechnung und Modellierung in der Festkörpermechanik. Sie bietet eine einzigartige Perspektive auf analytische und geometrische Herausforderungen, die sich aus Variationsmodellen in der Kontinuumsmechanik ergeben, und bringt sowohl die Theorie als auch die Anwendungen voran. Das Projekt Global and Local Behavior of Deformations of Sobolev and Fractional Sobolev Classes (GLoBe) untersucht zwei entscheidende Aspekte quasikonformer Elastizität: die Untersuchung lokaler Eigenschaften nichtlokal definierter Verformungen und das Verhalten von Funktionen mit spezifischen lokalen Eigenschaften auf globaler Ebene. Der erste Teil des Projekts konzentriert sich auf fraktionelle Sobolev-Räume und umfasst die Untersuchung lokaler Eigenschaften von Deformationen und die Modellierung dünner Strukturen in der Peridynamik. Der zweite Teil befasst sich mit Lösungen für Variationsprobleme, bei denen Verformungen fast überall invertierbar sind. Insbesondere geht es um das Lavrentiev-Phänomen in Klassen von Grenzwerten von Sobolev Homöomorphismen und Abbildungen endlicher Verzerrung. Unter Verwendung dieser Abbildungsklassen als zulässige Verformungen schlägt das Projekt einen neuen Ansatz für das mathematische Verständnis der Nichtdurchdringung von Materie und des Selbstkontakts in der Elastizität vor. Das Projekt umfasst insbesondere die Untersuchung der Magnetoelastizität und des Selbstkontakts für dünne elastische Filme. Dieses Projekt wird die theoretischen und methodischen Grundlagen für die quasikonforme Analysis im fraktionellen Sobolev Umfeld und für die Theorie der schwachen Grenzwerte von Sobolev Homöomorphismen legen. Die Analyse basiert auf der Kombination von Werkzeugen aus der quasikonformen Analysis und Variationsmethoden für nichtlineare Elastizität. Zu den wichtigsten Instrumenten gehören die Jacobi-Determinante, der topologische Grad, der fraktionelle Gradient und die Gamma-Konvergenz.