Polare Dualität und Quantenmechanik

Mathematische Punkte haben keine physikalische Bedeutung: Sie sind Abstraktionen, die zum platonischen Bereich der Geometrie gehören. Dennoch dienen diese mathematische Punkte in der klassischen Physik als Grundelemente und repräsentieren präzise Orte in Raum und Zeit. Diese Punkte erleichtern eine kontinuierliche Beschreibung physikalischer Phänomene durch Analyse und Geometrie, die auf Newtonschen Prinzipien basiert. Allerdings stellen diese abstrakten Einheiten beim Übergang in den Quantenbereich aufgrund des Heisenbergschen Unbestimmtheitsprinzips Herausforderungen dar: In der Quantenmechanik können Teilchen nicht genau lokalisiert werden, was das Konzept der Punkte obsolet macht. Um dieser Herausforderung zu begegnen, schlagen wir einen neuen Ansatz vor, der den Ersatz des gewöhnlichen Positionsraums durch eine Abdeckung konvexer Körper beinhaltet; Diese Mengen repräsentieren das verfügbare Wissen über die Position eines Systems, während ihre Polarduale das bestmögliche Wissen über die Impulse des Systems darstellen. Diese Ansicht führt eine pointillistische Perspektive ein, die an die Technik des Malers Paul Signac erinnert, kleine, deutliche Farbpunkte zu verwenden, um ein Bild zu formen. (Technisch gesehen impliziert unser Ansatz ein allgemeineres geometrisches Prinzip der Unbestimmtheit als der übliche Ausdruck, der das Heisenbergsche Unschärfeprinzip verwendet.) Zusammenfassend wollen wir einen Ersatz für einen Quantenphasenraum konstruieren und unsere bisherigen Arbeiten auf beliebige konvexe Teilmengen erweitern, die von Lagrange-Mannigfaltigkeiten getragen werden. Diese Erweiterung erfordert fortgeschrittene Techniken der konvexen und symplektischen Geometrie sowie der harmonischen Analyse.