Parametrisierung und Regularität in der Reellen Geometrie

In der Analysis und der Geometrie steht man oft vor der Aufgabe, regulare Parametrisierungen fur die Losungen von Polynomgleichungen mit differenzierbaren Koeffizienten zu finden. Die Exis- tenz guter Parametrisierungen ist beispielsweise von zentraler Bedeutung fur die Storungstheorie linearer Operatoren oder fur das Cauchy Problem hyperbolischer partieller Differentialgleichungen. In Rahmen des Projektes sollen die neuen Techniken, die wir fur die Losung dieses Problems ent- wickelt haben, auf verschiedene ungeloste Probleme in der Analysis und der Geometrie angewendet werden. Im Vordergrund steht die Suche nach quantitativen Schranken fur das Hausdorffmaß von Nullstellenmengen glatter, von endlicher Ordnung verschwindender Funktionen sowie fur das Vo- lumen ihrer tubularen Umgebungen. Von besonderem Interesse sind dabei die Eigenfunktionen des Laplace-Operators. Wahrend diese Probleme in der analytischen Kategorie gut verstanden sind, gilt es fur glatte Funktionen neue Methoden zu entwickeln. Ein wichtiges Werkzeug der Reellen Geometrie ist die gleichmaßige Parametrisierung von Men- gen, die in einer o-minimalen Struktur definierbar sind. Definierbare Mengen bilden einen allge- meinen Rahmen fur die Reelle Geometrie und werden auch in der Modelltheorie studiert. Dank ihrer vielen guten topologischen, geometrischen und metrischen Eigenschaften finden sie auch in anderen Gebieten Anwendungen, z.B. in der Zahlentheorie. In den vergangenen Jahren wurden spektakulare Resultate zur Anzahl der rationalen Punkte in definierbaren Mengen erzielt. Einen wesentlichen Beitrag leisten dabei geometrische Parametrisierungen der Mengen mit uniformer Kontrolle der partiellen Ableitungen bis zu einer bestimmten endlichen Ordnung. Im Zuge des Projektes plane ich, unsere Techniken fur die Parametrisierung definierbarer Mengen zu adaptieren und damit die bekannten Methoden der regularen Parametrisierung zu verfeinern. Es sind Anwendungen fur die Anzahl rationaler Punkte und daruber hinaus zu erwarten. Ein fundamentales Resultat der glatten Analysis besagt, dass Funktionen auf offenen Mengen genau dann glatt sind, wenn ihre Kompositionen mit glatten Kurven im Definitionsbereich wieder glatt sind. Fur Funktionen auf abgeschlossenen Mengen ist das nicht notwendigerweise wahr; es hangt von der Geometrie der Menge ab. Ich konnte zeigen, dass das Resultat auf abgeschlossenen subanalytischen Mengen (unter naturlichen topologischen Annahmen) gultig ist. Subanalytische Mengen bilden eine wichtige Familie definierbarer Mengen. Es ist bekannt, dass diese nutzliche Charakterisierung von Glattheit fur allgemeine definierbare Mengen nicht stimmt. Ich erwarte aber, dass sie fur Mengen, die in polynomial beschrankten o-minimalen Strukturen definierbar sind, gultig ist. Analoge Fragestellungen ergeben sich fur reell-analytische und ultradifferenzierbare Funktionen. Daruber hinaus ist es wichtig, die naturlichen topologischen und bornologischen Eigenschaften der assoziierten Funktionenraume zu verstehen. Ein schwieriges Problem der Singularitatentheorie ist das Verstandnis der Geodaten (d.h. der langenminimierenden Kurven) auf singularen Raumen bezuglich der inneren geodatischen Distanz. Es ist bekannt, dass auf subanalytischen Mengen die Limiten der Sekanten von Geodaten existieren. Aber es ist eine offene Frage, ob die Limiten der Tangenten von Geodaten existieren, oder mit anderen Worten, ob Geodaten stetig differenzierbar sind. Es gibt eine auffallige Ahnlichkeit mit dem Regularitatsproblem fur Geodaten in der Sub-Riemannschen Geometrie. In diesem Fall sind die Geodaten entweder Losungen einer Differentialgleichung und folglich ist ihre Regularitat klar, oder die Regularitat ist nicht vollstandig verstanden. In einigen Einzelfallen gibt es jedoch spannende aktuelle Entwicklungen.