Generische Eigenschaften nichtexpansiver Abbildungen

Im Projekt Generische Eigenschaften von nichtexpansiven Abbildungen geht es um die Untersuchung der Eigenschaften von nichtexpansiven Abbildungen, d.h. von Funktionen, die Abstände nicht vergrößern. Diese Funktionen spielen in verschiedenen Bereichen der Mathematik, beispielsweise in der Optimierung, eine große Rolle. In diesem Projekt werden nicht Eigenschaften untersucht, die alle diese Funktionen haben, sondern Eigenschaften typischer Funktionen. Typisch heißt in diesem Zusammenhang, dass die meisten Funktionen diese Eigenschaften haben. Da es unendlich viele nichtexpansive Abbildungen gibt, kann man dies nicht feststellen, indem man die Funktionen zählt und dann feststellt, wie viele Funktionen die untersuchte Eigenschaft haben. Eine Möglichkeit dies zu illustrieren ist es, die Punkte einer Kreisscheibe zu betrachten: es sind unendlich viele, aber man kann trotzdem feststellen, dass die meisten Punkte nicht am Rand liegen. Dies lässt sich beispielsweise dadurch formalisieren, dass man beliebig nahe zu jedem Randpunkt eine kleine Kreisscheibe finden kann, die komplett außerhalb des Kreises am Rand liegt. Eine ähnliche Charakterisierung kann man auch im Fall der nichtexpansiven Abbildungen verwenden. Wir wollen untersuchen, unter welchen Voraussetzungen typische nichtexpansive Abbildungen einen Fixpunkt besitzen, d.h. einen Punkt, den sie nicht ändern und wie sich die typische Steigung verhält. In machen Situationen, beispielsweise wenn man Unsicherheiten berücksichtigen möchte, macht es Sinn Funktionen zu betrachten, deren Werte nicht nur aus einem Punkt bestehen. Für solche Funktionen, die kompakte Werte haben, möchten wir Verfahren untersuchen, mit denen Fixpunkte iterativ berechnet werden können. Auch hier stellt sich heraus, dass dies nicht für alle dieser Funktionen funktioniert und wir stellen daher die Frage, ob diese Verfahren für typische Funktionen anwendbar sind. Ein Schwerpunkt dieses Projekts, ist es den Zusammenhang zwischen dem Verhalten typischer Funktionen und geometrischer Eigenschaften der zugrunde liegenden Räume zu untersuchen. Dies stellt ein neuer Zugang zu den oben beschriebenen Problemen dar.

Unter nichtexpansiven Abbildungen versteht man Funktionen, die Abstände nicht vergrößern. Diese Funktionen spielen in verschiedenen Bereichen der angewandten Mathematik, wie beispielsweise in der Optimierung, eine große Rolle. Darüber hinaus sind sie auch für theoretische Fragestellungen der Funktionalanalysis von Interesse. In diesem Projekt haben wir uns mit typischen Eigenschaften dieser Funktionen beschäftigt. Typisch nennt man eine Eigenschaft in diesem Zusammenhang, wenn die Menge der Funktionen mit dieser Eigenschaft in gewissem Sinne als "groß" angesehen werden kann. Wir haben in diesem Projekte verschiedene Konzepte von "großen" bzw. "kleinen" Mengen verwendet. Eine Möglichkeit dies zu illustrieren ist es, die Punkte einer Kreisscheibe zu betrachten: es sind unendlich viele, aber man kann trotzdem feststellen, dass die meisten Punkte nicht am Rand liegen. Dies lässt sich beispielsweise dadurch formalisieren, dass man beliebig nahe zu jedem Randpunkt eine kleine Kreisscheibe finden kann, die komplett außerhalb des Kreises am Rand liegt. Eine ähnliche Charakterisierung kann man auch im Fall der nichtexpansiven Abbildungen verwenden. Wir haben untersucht wie sich geometrische Eigenschaften des Raums auf dem die Funktionen definiert sind auf das typische Verhalten dieser Abbildungen auswirken und konnten zeigen, dass gewisse Krümmungseigenschaften des zugrundeliegenden Raums dazu führen, dass die meisten nichtexpansiven Abbildungen einen Fixpunkt, d.h. einen Punkt den sie nicht ändern, haben. Für zwei Klassen mengenwertiger Funktionen, d.h. Funktionen, deren Werte keine Punkte sondern Mengen sind, konnten wir zeigen, dass bestimmte Algorithmen zur Bestimmung von Fixpunkten für typische Funktionen funktionieren. Es war bereits bekannt, dass sich Funktionen auf unbeschränkten Mengen in sogenannten Hilberträumen anders verhalten als auf beschränkten Mengen. Wir konnten zeigen, dass dies auch in deutlich allgemeineren Situationen der Fall ist. Um Fragen zu "großen" und "kleinen" Mengen in abstrakten Räumen genauer untersuchen zu können, haben wir uns auch mit einer neuen Beschreibung von sogenannten Haar-Nullmengen beschäftigt und konnten eine Charakterisierung für eine Klasse solcher Mengen finden.