Wissenschaftsdisziplinen
Mathematik (100%)
Keywords
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Filter,
Countable dense homogeneous,
Semifilter,
Hereditarily Baire,
Homogeneous,
Perfect set
Dieses Forschungsprojekt beschäftigt sich mit allgemeiner Topologie und hat folgende Bezüge zur Mengenlehre. -Verwendung von mengentheoretischen Axiomen (z.B. Martins Axiom oder Diamond) oder die Annahme von Kardinalzahlinvarianten zum Beweis von Konsistenz- oder Unabhängigkeitsresultaten im Bezug auf topologische Aussagen. -Untersuchung von kombinatorischen Objekten auf Omega (z.B. Filter) aus topologischer Perspektive. -Verwendung bzw. Untersuchung der topologischen Eigenschaften von definierbaren Mengen (Borel Mengen, analytische Mengen, koanalytische Mengen, usw.). Filter sind klassische Objekte in der Mathematik. Semifilter sind eine natürliche Erweiterung dieses Begriffes und wurden in letzter Zeit häufig angewendet (z.B. in der Forschung an Auswahlprinzipien). Sowohl Filter als auch Semifilter können mit einer natürlichen Struktur eines topologischen Raumes ausgestattet werden (mit der Teilraumtopologie, welche von der Cantor-Menge induziert wird). Es stellt sich heraus, dass ihre kombinatorische Struktur einen signifikanten Einfluss auf die zugehörige Topologie hat, insbesondere im Bezug auf ihre Eigenschaften hinsichtlich des Homogenitätstyps. Ein großer Teil dieses Projektes besteht daraus, die beeindruckenden Resultate von Fons van Engelen bezüglich Borel Filtern und homogenen Borel null-dimensionalen Räumen zu erweitern (unter geeigneten Determiniertheitsannahmen). Diese Möglichkeit wurde durch aktuelle Ergebnisse von Fournier gegeben, welche Louveaus bahnbrechende Arbeit über Borel Wadge Klassen verallgemeinern, die ein grundlegendes Element in van Engelens Arbeit sind. Weiter planen wir dies auch auf neuere Resultate des Antragsstellers hinsichtlich Borel Semifiltern anzuwenden. Außerdem werden wir eine Vermutung van Engelens über den Zusammenhang von Filtern und topologischen Gruppen untersuchen. Viele Fragestellungen in diesem Projekt stehen in Bezug zur Perfekte-Mengen-Eigenschaft, welche ein klassisches Konzept in deskriptiver Mengenlehre ist. Hier werden wir sie allerdings aus einer anderen, konzeptuell neuen, Perspektive betrachten. Insbesondere, inspiriert von Ergebnissen von Miller, werden wir das Verhältnis zwischen verschiedenen Perfekte-Mengen-Eigenschaften (wie z.B. Marczewski-Messbarkeit) für Ultrafilter analysieren. Schließlich beschäftigt sich dieses Projekt mit abzählbar dichter Homogenität, welche auf Arbeiten Georg Cantors zurückgeht. Im Speziellen möchten wir Semifilter und null-dimensionale unendliche Potenzen, die diese Eigenschaft besitzen, charakterisieren (wobei Letzteres von Fitzpatrick und Zhou gefragt wurde).
Der Schwerpunkt unserer Forschung liegt auf der Wadge-Theorie, die eine systematische Analyse der Komplexität der Teilmengen eines Raumes liefert. Beginnend mit der Arbeit von F. van Engelen hat sich dies als unschätzbares Werkzeug bei der Untersuchung homogener Räume (einschließlich Filter und Semifilter) erwiesen. In gemeinsamen Arbeiten mit R. Carroy, S. Müller und Z. Vidnynszky haben wir beide rein Wadge-theoretische Ergebnisse festgestellt (stark auf unveröffentlichten Arbeiten von A. Louveau aufbauend) und Anwendungen auf starke Homogenität und s-Homogenität gegeben. Während sich van Engelens Arbeit auf den Borel-Kontext beschränkte, erhielten wir Ergebnisse für alle Räume, unter AD (Axiom of Determinacy). Wir glauben, dass unsere Arbeit eine vollständige Klassifizierung der nulldimensionalen homogenen Räume, sowie von Filtern und Semifiltern auf unter AD ermöglichen wird.
- Universität Wien - 100%
Research Output
- 2 Zitationen
- 9 Publikationen
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2020
Titel Every zero-dimensional homogeneous space is strongly homogeneous under determinacy DOI 10.1142/s0219061320500154 Typ Journal Article Autor Carroy R Journal Journal of Mathematical Logic Seiten 2050015 Link Publikation -
2022
Titel CONSTRUCTING WADGE CLASSES DOI 10.1017/bsl.2022.7 Typ Journal Article Autor Carroy R Journal The Bulletin of Symbolic Logic Seiten 207-257 Link Publikation -
2022
Titel On the scope of the Effros theorem DOI 10.4064/fm100-12-2021 Typ Journal Article Autor Medini A Journal Fundamenta Mathematicae Seiten 211-223 -
2021
Titel On the scope of the Effros theorem DOI 10.48550/arxiv.2107.11586 Typ Preprint Autor Medini A -
0
Titel Constructing Wadge classes Typ Journal Article Autor Carroy R Journal The Bulletin of Symbolic Logic -
0
Titel Zero-dimensional σ-homogeneous spaces Typ Journal Article Autor Medini A Journal Annals of Pure and Applied Logic -
0
Titel On the scope of the Effros theorem Typ Journal Article Autor Medini A Journal Fundamenta Mathematicae -
2024
Titel Zero-dimensional s-homogeneous spaces DOI 10.1016/j.apal.2023.103331 Typ Journal Article Autor Medini A Journal Annals of Pure and Applied Logic Seiten 103331 -
2019
Titel Constructing Wadge classes DOI 10.48550/arxiv.1907.07612 Typ Preprint Autor Carroy R Link Publikation