Die Topologie von Filtern

Dieses Forschungsprojekt beschäftigt sich mit allgemeiner Topologie und hat folgende Bezüge zur Mengenlehre. -Verwendung von mengentheoretischen Axiomen (z.B. Martins Axiom oder Diamond) oder die Annahme von Kardinalzahlinvarianten zum Beweis von Konsistenz- oder Unabhängigkeitsresultaten im Bezug auf topologische Aussagen. -Untersuchung von kombinatorischen Objekten auf Omega (z.B. Filter) aus topologischer Perspektive. -Verwendung bzw. Untersuchung der topologischen Eigenschaften von definierbaren Mengen (Borel Mengen, analytische Mengen, koanalytische Mengen, usw.). Filter sind klassische Objekte in der Mathematik. Semifilter sind eine natürliche Erweiterung dieses Begriffes und wurden in letzter Zeit häufig angewendet (z.B. in der Forschung an Auswahlprinzipien). Sowohl Filter als auch Semifilter können mit einer natürlichen Struktur eines topologischen Raumes ausgestattet werden (mit der Teilraumtopologie, welche von der Cantor-Menge induziert wird). Es stellt sich heraus, dass ihre kombinatorische Struktur einen signifikanten Einfluss auf die zugehörige Topologie hat, insbesondere im Bezug auf ihre Eigenschaften hinsichtlich des Homogenitätstyps. Ein großer Teil dieses Projektes besteht daraus, die beeindruckenden Resultate von Fons van Engelen bezüglich Borel Filtern und homogenen Borel null-dimensionalen Räumen zu erweitern (unter geeigneten Determiniertheitsannahmen). Diese Möglichkeit wurde durch aktuelle Ergebnisse von Fournier gegeben, welche Louveaus bahnbrechende Arbeit über Borel Wadge Klassen verallgemeinern, die ein grundlegendes Element in van Engelens Arbeit sind. Weiter planen wir dies auch auf neuere Resultate des Antragsstellers hinsichtlich Borel Semifiltern anzuwenden. Außerdem werden wir eine Vermutung van Engelens über den Zusammenhang von Filtern und topologischen Gruppen untersuchen. Viele Fragestellungen in diesem Projekt stehen in Bezug zur Perfekte-Mengen-Eigenschaft, welche ein klassisches Konzept in deskriptiver Mengenlehre ist. Hier werden wir sie allerdings aus einer anderen, konzeptuell neuen, Perspektive betrachten. Insbesondere, inspiriert von Ergebnissen von Miller, werden wir das Verhältnis zwischen verschiedenen Perfekte-Mengen-Eigenschaften (wie z.B. Marczewski-Messbarkeit) für Ultrafilter analysieren. Schließlich beschäftigt sich dieses Projekt mit abzählbar dichter Homogenität, welche auf Arbeiten Georg Cantors zurückgeht. Im Speziellen möchten wir Semifilter und null-dimensionale unendliche Potenzen, die diese Eigenschaft besitzen, charakterisieren (wobei Letzteres von Fitzpatrick und Zhou gefragt wurde).

Der Schwerpunkt unserer Forschung liegt auf der Wadge-Theorie, die eine systematische Analyse der Komplexität der Teilmengen eines Raumes liefert. Beginnend mit der Arbeit von F. van Engelen hat sich dies als unschätzbares Werkzeug bei der Untersuchung homogener Räume (einschließlich Filter und Semifilter) erwiesen. In gemeinsamen Arbeiten mit R. Carroy, S. Müller und Z. Vidnynszky haben wir beide rein Wadge-theoretische Ergebnisse festgestellt (stark auf unveröffentlichten Arbeiten von A. Louveau aufbauend) und Anwendungen auf starke Homogenität und s-Homogenität gegeben. Während sich van Engelens Arbeit auf den Borel-Kontext beschränkte, erhielten wir Ergebnisse für alle Räume, unter AD (Axiom of Determinacy). Wir glauben, dass unsere Arbeit eine vollständige Klassifizierung der nulldimensionalen homogenen Räume, sowie von Filtern und Semifiltern auf unter AD ermöglichen wird.