Geometrische Variationsprobleme aus der Stringtheorie

Die Stringtheorie betrachtet die Dynamik von eindimensionalen Fäden, die sich durch einen gekrümmten Raum bewegen. In Analogie dazu, dass sich Punktteilchen auf der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten bewegen, soll die dabei überstrichene Fläche minimalen Flächeninhalt haben. Dieses Problem ist in der Mathematik, vor allem in der Differentialgeometrie, schon lange studiert worden: Eine Minimalfläche ist eine Fläche in einem (gekrümmten) Raum, welchen den Flächeninhalt minimiert, ein klassisches Beispiel sind Seifenhäute, die über einen Rahmen eingespannt sind. Zur mathematischen Formulierung dieses Problems wird die Variationsrechnung benutzt: Es wird das sogenannte Volumenfunktional betrachtet, welches jeder Fläche im Raum eine Zahl zuordnet. Mit den Methoden der geometrischen Analysis können dann die Flächen gefunden werden, die den kleinsten Flächeninhalt haben. In der Mathematik wird dies kritischer Punkt des Funktionals genannt. Ein großer mathematischer Vorteil des Volumenfunktionals ist, dass es nach unten beschränkt ist, da das Volumen einer Fläche nicht negativ sein kann. Für diese Klasse von Variationsproblemen existieren mächtige mathematische Werkzeuge. Auch die in der Stringtheorie auftretenden Variationsprobleme sind in der mathematischen Sprache der Differentialgeometrie formuliert. Diese sind jedoch deutlich komplizierter als das Volumenfunktional, da sie häufig nach unten unbeschränkt sind. Im ersten Teil des Projekts sollen die geometrischen und analytischen Eigenschaften von diversen Variationsproblemen aus der Stringtheorie studiert werden. Zur Untersuchung der dabei auftretenden unbeschränkten Funktionale ist es erforderlich, neuartige mathematische Regularisierungsmethoden zu entwickeln. Diese überführen unbeschränkte Funktionale in beschränkte, für die es bereits viele mathematische Werkzeuge gibt. Die schwierige Frage ist, ob man aus dem regularisierten Problem auch etwas über das ursprüngliche schließen kann. Im zweiten Teil des Projekts sollen jene Gleichungen studiert werden, welche die Dynamik eines Superstrings in einem gekrümmten Raum beschreiben. Formal handelt es sich bei diesen Gleichungen um ein System aus einer linearen und einer nicht-linearen Wellengleichung. Lineare Wellengleichungen beschreiben die ungestörte Ausdehnung von Wellen, wie z.B. Schallwellen. Betrachtet man hingegen Wellengleichungen, die eine Nichtlinearität haben, so können deren Lösungen Singularitäten entwickeln: Im Falle der Schallwellen wäre dies z.B. das Auftreten von Überschall. Für beide Gleichungen, welche die Dynamik des Superstrings beschreiben, gibt es bereits viele Resultate in der mathematischen Literatur, sowohl aus den Gebieten der Analysis als auch der Geometrie. In diesem Projekt wollen wir vorhandene Methoden geschickt kombinieren und erweitern. Die hier auftretenden Nichtlinearitäten sind vom mathematischen Standpunkt aus betrachtet beherrschbar. Es ist zu erwarten, dass diese Gleichungen sowohl globale Lösungen besitzen, als auch Lösungen, die eine Singularität entwickeln. Die spannende Frage hierbei ist, unter welchen Bedingungen eine Singularität entstehen kann. Weiterhin soll erforscht werden, wie die Geometrie des umgebenden Raumes die Dynamik des Superstrings beeinflusst.

Das Projekt Geometrische Variationsprobleme aus der Stringtheorie hat verschiedene Wirkungsfunktionale aus der Stringtheorie mit rigorosen mathematischen Methoden untersucht. In der theoretischen Physik ist die Stringtheorie ein aussichtsreicher Kandidat für eine sogenannte Theory of everything, also eine Theorie, die alle Phänomene in unserem Universum beschreiben kann. Ihre zentrale Annahme ist, dass Elementarteilchen nicht punktförmig sind, sondern durch eindimensionale Fäden, die sogenannten Strin gs beschrieben werden können. Wenn sich ein solcher String durch unser Universum bewegt, dann überstreicht er eine Fläche, welche Weltfläche genannt wird. In Analogie dazu, dass sich Punktteilchen immer auf Kurven kürzester Länge bewegen, fordert man, das s die Weltfläche eines Strings minimalen Flächeninhalt haben soll. Das Universum, in dem sich der String bewegt, kann durch die Einstein-Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie modelliert werden, und wird im Allgemeinen gekrümmt sein. Schon aus diesem Grund kann man sich gut vorstellen, dass die Bedingung, dass der String eine minimale Weltfläche hat, nicht immer erfüllt sein kann und daher ein schwieriges mathematisches Problem darstellt. Auf der mathematischen Seite drückt sich diese Schwierigkeit durch die Tatsache aus, dass die Bewegung des Strings durch eine nichtlineare partielle Differentialgleichung beschrieben wird. Durch die Nichtlinearität könnte es z.B. passieren, dass die Gleichungen nur Lösungen zulassen, welche für einen endlichen Zeitraum existieren und anschließend eine Singularität bilden. Solche Lösungen wären aber für die theoretische Physik uninteressant, da dies bedeuten würde, dass solche Strings keine stabilen, also langlebige, Teilchen modellieren können. Eine weitere Schwierigkeit kommt daher, dass die meisten realistischen Modelle der Stringtheorie noch zusätzliche Beiträge enthalten, die zu sogenannten Superstringtheorien führen. Ein zentrales Resultat dieses Projekts ist nun, dass die Gleichungen, welche die Dynamik einer großen Klasse von Superstringtheorien beschreiben, lösbar sind unter der Annahme, dass sich die Weltfläche des Strings schnell genug ausdehnt. Die Bedingung, dass sich die Weltfläche genügend stark ausdehnt unterdrückt die nichtlinearen Terme in den verschiedenen Gleichungen der Superstringtheorie und somit kann die Lösung für alle Zeiten existieren. Im Rahmen dieses Projektes wurden zusätzlich verschiedene Bedingungen (z.B. an die Krümmung des Universums) gefunden, unter welchen die Gleichungen, die einen Superstring beschreiben, keine Lösungen haben. Solche Bedingungen sind natürlich auch für die theoretische Physik sehr wichtig, da diese Hinweise darauf geben, unter welchen Voraussetzungen die Stringtheorie keine Lösungen zulässt.