Optimale isogeometrische Randelementmethode

Das ultimative Ziel jedes numerischen Verfahrens ist die Berechnung einer diskreten Lösung mit einer vorgeschriebenen Fehlertoleranz unter minimalem Rechenaufwand. Bei der numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen wird die Approximationsgüte der numerischen Lösung im Allgemeinen durch Singularitäten der gegebenen Daten, aber auch der unbekannten exakten Lösung negativ beeinflusst. Geeignet adaptierte Gitter führen allerdings häufig auf optimales Konvergenzverhalten, wobei viele mathematische Fragen zu automatischer Netzadaption noch offen bzw. nur für Modellbeispiele und Standarddiskretisierungen beantwortet sind. Die Idee der isogeometrischen Analysis ist die Verwendung derselben Diskretisierung für die gegebene Geometrie und für die Differentialgleichung. Dadurch wird insbesondere die kritische Geometrieapproximation vermieden. In CAD Software wird die Problemgeometrie üblicherweise durch (verallgemeinerte) NURBS dargestellt. Da CAD im Allgemeinen lediglich die Oberflächenparametrisierung zur Verfügung stellt, ist die Randelementmethode (engl. boundary element method) ein sehr attraktives Diskretisierungsverfahren, da sie lediglich auf der Oberfläche formuliert wird. Im Projekt soll die isogeometrische Randelementmethode (IGABEM) mathematisch fundiert werden mit einem Schwerpunkt auf der optimalen Konvergenz adaptiver Verfahren: Im ersten Schritt werden a posteriori Fehlerabschätzungen für schwach-singuläre und hyper-singuläre Integralgleichungen in 2D und 3D hergeleitet. Basierend auf diesen Fehlerabschätzungen werden adaptive Algorithmen formuliert, die sowohl die lokale Netzadaption als auch die lokale Glattheit der IGABEM-Ansatzfunktionen steuern. Dabei sollen sowohl Singularitäten als auch etwaige Sprungstellen der unbekannten Lösung entdeckt und geeignet aufgelöst werden. Im Vergleich zu Standard-BEM erlaubt dies eine höhere Genauigkeit der berechneten Approximation bei gleicher Ressourcenverwendung. Die entwickelten Algorithmen werden empirisch und mathematisch auf optimales Konvergenzverhalten untersucht. Dabei ist es das erklärte Ziel, mathematisch-analytisch zu garantieren, dass die entwickelten Algorithmen mit der bestmöglichen Rate konvergieren. Dies garantiert zumindest asymptotisch, dass das Verfahren eine optimale Lösung mit quasi-minimalem Rechenaufwand liefert. Im Zuge des Projektes ensteht eine frei-verfügbare Software, die alle mathematischen Ergebnisse widerspiegelt und belegt, und somit diese für die interessierte (wissenschaftliche) Allgemeinheit zugänglich macht.

Das ultimative Ziel jedes numerischen Verfahrens ist die Berechnung einer diskreten Lösung mit einer vorgeschriebenen Fehlertoleranz unter minimalem Rechenaufwand. Bei der numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen wird die Approximationsgüte der numerischen Lösung im Allgemeinen durch Singularitäten der gegebenen Daten, aber auch der unbekannten exakten Lösung negativ beeinflusst. Geeignet adaptierte Gitter führen allerdings häufig auf optimales Konvergenzverhalten, wobei viele mathematische Fragen zu automatischer Netzadaption noch offen bzw. nur für Modellbeispiele und Standarddiskretisierungen beantwortet sind. Die Idee der isogeometrischen Analysis (IGA) ist die Verwendung derselben Diskretisierung für die gegebene Geometrie und für die Differentialgleichung. Dadurch wird insbesondere die kritische Geometrieapproximation vermieden. In CAD Software wird die Problemgeometrie üblicherweise durch (verallgemeinerte) NURBS dargestellt. Da CAD im Allgemeinen lediglich die Oberflächenparametrisierung zur Verfügung stellt, ist die Randelementmethode (engl. boundary element method) ein sehr attraktives Diskretisierungsverfahren, da sie lediglich auf der Oberfläche formuliert wird. Im Projekt wurden für IGA Diskretisierungen adaptive Algorithmen entwickelt, die das zugrundeliegende Gitter verfeinern sowie die Glattheit der verwendeten NURBS-Funktionen geeignet steuern, sodass der Fehler zwischen der unbekannten exakten Lösung und der berechenbaren IGA Lösung mit der bestmöglichen Rate fällt (bzgl. der Freiheitsgrade). Ferner wurde der mathematische Rahmen geschaffen, um auch bestmögliche Raten bezüglich des Rechenaufwands (und damit der benötigten Rechenzeit) zu charakterisieren.