Reflexion und Kompaktheit in der Mengenlehre

Philosophen und Mathematiker sind seit Millenien von der Unendlichkeit fasziniert. Im 19. Jahrhundert hat Georg Cantor begonnen, die verschiedenen Unendlichkeiten mathematisch zu erforschen. Seine Arbeit führte zur Entwicklung der Mengenlehre, die mathematische Theorie der Mengen. Obwohl die Gegenstände der Mengenlehre, die reinen Mengen, einfach aussehen, können sie benutzt werden, um sehr komplizierte Strukturen zu bauen, die für die Kodierung der ganzen Mathematik ausreichen. Cantor hat die folgende Frage gestellt: Gibt es Mengen, deren Mächtigkeiten strikt zwischen den Mächtigkeiten der Mengen der natürlichen Zahlen und derreelen Zahlen sind?Dieses Kontinuumsproblem tritt als erstes Problem in Hilberts berühmter Liste der 23 wichtigsten mathematischen Probleme des 20. Jahrhunderts auf. Gödel und Cohen haben gezeigt, dass dieses Problem unabhängig vom standarden Axiomensystem für die Mengenlehre ist. Aufgrund dieser Entdeckung ist die Betonung der modernen Mengenlehre nicht auf die Wahrheit, sondern auf die Konsistenz der mengentheoretischen Aussagen. In diesem Projekt interessieren wir uns auf die Möglichkeiten für und die Einschränkungen auf das Kompaktheitsphänomen. Die Kompaktheit bedeutet, dass eine Eigenschaft einer großen Struktur auch für eine ihrer kleinen Teilstrukturen gilt. Philosophisch hat dies die Bedeutung, dass, obwohl es verschiedene Unendlichkeiten gibt, sie trotzdem ähnlich zueinander sind. Umgekehrt könntenEinschränkungen auf der Kompaktheit eine tiefe Erklärung des Unterschieds zwischen verschiedenen Unendlichkeiten enthüllen. Die Kompaktheit ist eng mit den Großekardinalzahlaxiomen verbunden. Die letzteren gehen über die standarden Axiomen der Mengenlehre hinaus, indem sie die Konsistenz von Aussagen beweisen, die die standarden Axiomen alleine nicht beweisen können. Die Großekardinalzahlaxiomen sind in einer Hierarchie geordnet. Ein solches Axiom ist mächtiger als ein anderes, wenn es die Konsistenz von mehr Aussagen als das anderes beweisen kann. Diese Hierarchie ist sehr erfolgreich als eine Skala benutzt, um die Konsistenzstärke von kombinatorischen Aussagen der Mengenlehre zu messen. Die meisten, natürlichen Kompaktheitsprinzipien haben wesentliche Konsistenzstärke, und es ist zu erwarten, dass viele dieser Prinzipien genau dieselbe Konsistenzstärke wie ein Großekardinalzahlaxiom haben. Ein Ziel dieses Projekts ist ein tiefes Verständnis der Beziehung zwischen Großekardinalzahlaxiomen und Kompaktheitsprinzipien zu gewinnen. 1

Im Bereich der Mengenlehre, in der mathematischen Logik, ist das Studium großer Kardinalzahlen und elementarer Einbettungen von grundlegender Bedeutung. Dieses Projekt konzentriert sich auf den Begriff der stark kompakten Kardinalzahlen und einige damit zusammenhängende Fragen. Diese großen Kardinalzahlen sind insofern mysteriös, als sie zwar eine sehr hohe Konsistenzstärke haben, ihre Auswirkungen auf das Universum der Mengen jedoch subtil und schwer zu untersuchen sind. In diesem Projekt habe ich einige Begriffe untersucht, die sich auf den Zusammenhang zwischen der Theorie des inneren Modells, der deckenden Argumente und der elementaren Einbettungen in Gegenwart großer Kardinalzahlen beziehen. Dies führte zu einigen tiefengreifenden Fragen im Zusammenhang mit Woodins Arbeit über das letztendliche Ziel der inneren Modelltheorie - der HOD- Vermutung und dem Ultimate-L. Dies führte zu einer Vielzahl von Arbeiten, an denen viele Mitarbeiter beteiligt waren. Zum Beispiel haben wir zusammen mit Ben-Neria (HUJI) die Konsistenz der Existenz eines Modells erhalten, dass die HOD-Vermutung in Frage stellt, auch wenn sie noch weit davon entfernt ist, sie zu widerlegen. Diese Ergebnisse könnten den Weg zu einem Beweis der HOD-Vermutung erhellen. In einer anderen Arbeit haben wir gemeinsam mit Sandra Müller (KGRC) eine kombinatorische Eigenschaft erhalten, die als Maß für die Fähigkeit gut verhaltener innerer Modelle, das Universum abzudecken, verwendet werden kann. Eine weitere Forschungsrichtung bezieht sich auf die klassische Definition derstarkenKompaktheit unter Verwendungder Filtervervollständigungseigenschaft. Nach zwei Fragen von Gitik (TAU) habe ich das Problem einer eingeschränkten Filtererweiterungseigenschaft untersucht. Mit rein kombinatorischen Argumenten erhielt ich eine überraschende Äquivalenz zwischen einer scheinbar schwachen Version der Filtervervollständigungseigenschaft und einer viel stärkeren. In ähnlicher Weise haben wir in einer gemeinsamen Arbeit mit Magidor (HUJI) eine Formulierung von nahezu Superkompaktheit unter Verwendung der Existenz von Zweigen in bestimmten Bäumen erhalten. Beide Ergebnisse deuten darauf hin, dass es einen natürlichen Normalisierungsprozess gibt, der vom wilden, starkem kompakten Typ zu dem sich besser verhaltenden superkompakten Typ übergeht.