Mengentheoretische Methoden in Banachräumen

Mit ihren umfangreichen Anwendungen in verschiedenen Bereichen wie Physik, Ingenieurwissenschaft, Biologie oder Medizin, stellt Analysis eines der Hauptgebiete der modernen Mathematik dar. Sie wird von vielen Mathematikern intensiv untersucht, dennoch passiert es oft, dass einige Hypothesen der Analysis allein mit Hilfe von analytischen Werkzeugen nicht bewiesen oder widerlegt werden können. Das Problem liegt in den vorausgesetzten Axiomen das heißt, Sätzen, die ohne Beweis als richtig genommen werden und auf die jedes Theorem der Mathematik zurückgeführt wird welche den Mengenbegriff verwenden. Mengen werden als minimalste Objekte in der Mathematik verstanden: alle anderen Objekte wie Zahlen, Funktionen oder Räume sind aus Mengen aufgebaut. Trotz des minimalen Charakters der Mengen, kann sogar eine kleinste Änderung in den Axiomen einen großen Einfluss auf die ganze Mathematik haben. Dies wird zum Beispiel dadurch verursacht, dass einige mathematische Objekte anfangen oder aufhören werden zu existieren, einige Relationen zwischen Objekten anfangen oder aufhören werden zu gelten oder manche Objekte anfangen oder aufhören werden bestimmte Eigenschaften zu haben. Das Gebiet der Mathematik, welches die Eigenschaften der Axiome und ihren Einfluss auf den Rest der Mathematik untersucht, heißt Mengenlehre. In diesem Projekt interessieren wir uns für den Einfluss der Mengenlehre auf die Existenz analytischer Räume mit verschiedenen Eigenschaften. Insbesondere fragen wir von einem mengentheoretischen Standpunkt aus nach der Struktur der Räume mit verschiedenen Eigenschaften betreffend zum Beispiel die Konvergenz unendlicher Folgen von Elementen unendlich dimensionaler Räume (so gennanter Banachräume), Beschränktheit unendlicher Teilmengen in diesen Räumen oder Verbindungen zwischen der Struktur der Räume selbst und ihren Elementen. Die Wissenschaft über diese Struktur erlaubt Fragen zu beantworten, wie zum Beispiel: Wie groß ist ein bestimmter Raum? Welche anderen Eigenschaften hat er? und Existiert ein solcher Raum? Methoden der Kardinalinvarianten des Kontinuums werden unser Hauptuntersuchungswerkzeug sein. Dies sind mengentheoretische Techniken, welche mathematische Objekte, die komplizierte Mengen sind, benützen, wie zum Beispiel verschiedene Familien unendlicher Folgen natürlicher Zahlen oder Familien spezieller unendlicher Teilmengen der Menge der reellen Zahlen. Diese Techniken wurden bereits intensiv untersucht und sie sind gut verstanden. Einer der zentralen innovativen Aspekte dieses Projekts ist ihre Verwendung in der Untersuchung der oben genannten Probleme Banachräumen betreffend. Diese Verwendung wird dazu beitragen die kombinatorische Struktur verschiedener Banachräume besser zu verstehen und uns damit die Möglichkeit eröffnen zu beweisen, dass bestimmte offene Fragen über Banachräume unabhängig sind, das heißt aus den angenommen Axiomen weder bewiesen noch widerlegt werden können.

Mit ihren umfangreichen Anwendungen in verschiedenen Bereichen wie Physik, Ingenieurwissenschaft, Biologie oder Medizin, stellt Analysis eines der Hauptgebiete der modernen Mathematik dar. Sie wird von vielen Mathematikern intensiv untersucht, dennoch passiert es oft, dass einige Hypothesen der Analysis allein mit Hilfe von analytischen Werkzeugen nicht bewiesen oder widerlegt werden können. Das Problem liegt in den vorausgesetzten Axiomen das heißt, Sätzen, die ohne Beweis als richtig genommen werden und auf die jedes Theorem der Mathematik zurückgeführt wird welche den Mengenbegriff verwenden. Mengen werden als minimalste Objekte in der Mathematik verstanden: alle anderen Objekte wie Zahlen, Funktionen oder Räume sind aus Mengen aufgebaut. Trotz des minimalen Charakters der Mengen, kann sogar eine kleinste Änderung in den Axiomen einen großen Einfluss auf die ganze Mathematik haben. Dies wird zum Beispiel dadurch verursacht, dass einige mathematische Objekte anfangen oder aufhören werden zu existieren, einige Relationen zwischen Objekten anfangen oder aufhören werden zu gelten oder manche Objekte anfangen oder aufhören werden bestimmte Eigenschaften zu haben. Das Gebiet der Mathematik, welches die Eigenschaften der Axiome und ihren Einfluss auf den Rest der Mathematik untersucht, heißt Mengenlehre. In diesem Projekt interessierten wir uns für den Einfluss der Mengenlehre auf die Existenz analytischer Räume mit verschiedenen Eigenschaften. Insbesondere fragten wir von einem mengentheoretischen Standpunkt aus nach der Struktur der Räume mit verschiedenen Eigenschaften betreffend zum Beispiel die Konvergenz unendlicher Folgen von Elementen unendlich dimensionaler Räume (so gennanter Banachräume), Beschränktheit unendlicher Teilmengen in diesen Räumen oder Verbindungen zwischen der Struktur der Räume selbst und ihren Elementen. Die Wissenschaft über diese Struktur erlaubte Fragen zu beantworten, wie zum Beispiel: Wie groß ist ein bestimmter Raum? Welche anderen Eigenschaften hat er? und Existiert ein solcher Raum? Methoden der Kardinalinvarianten des Kontinuums waren unser Hauptuntersuchungswerkzeug. Dies sind mengentheoretische Techniken, welche mathematische Objekte, die komplizierte Mengen sind, benützen, wie zum Beispiel verschiedene Familien unendlicher Folgen natürlicher Zahlen oder Familien spezieller unendlicher Teilmengen der Menge der reellen Zahlen. Diese Techniken wurden bereits intensiv untersucht und sie sind gut verstanden. Einer der zentralen innovativen Aspekte dieses Projekts war ihre Verwendung in der Untersuchung der oben genannten Probleme Banachräumen betreffend. Diese Verwendung trug dazu bei, die kombinatorische Struktur verschiedener Banachräume besser zu verstehen und eröffnete uns damit die Möglichkeit zu beweisen, dass bestimmte offene Fragen über Banachräume unabhängig sind, das heißt aus den angenommen Axiomen weder bewiesen noch widerlegt werden können.