Regularität von Abbildungen – Theorie und Anwendungen

Die meisten mathematischen Modelle bauen auf verschiedene Arten von (funktionalen) Abbildungen. Dies betrifft sowohl deren Formulierung als auch die analytische und numerische Analyse. Ein ökonomisches Beispiel ist etwa eine (oft mengenwertige) Abbildung, die ökonomische Gleichgewichte als Funktion exogener Daten beschreibt. In diesem Kontext ist die Frage fundamental, ob kleine Änderungen der exogenen Faktoren zu dramatischen Änderungen der Gleichgewichte (was bis zum Fehlen von Gleichgewichten gehen kann) führen können. Falls dies nicht der Fall ist, entspricht dies einer gewissen Regularität der zugrundeliegenden Abbildung. Weiters beispielweise, Optimierungsprobleme unter Nebenbedingungen zu lösen sind, werden oft Approximationsmethoden und numerische Algorithmen angewendet. Hier ergibt sich eine andere fundamentale Frage: Ist gesichert, dass die numerische Lösung nahe einer Lösung des ursprünglichen Problems liegt? Kann jede Lösung des Optimierungsproblems durch eine numerische Lösung unter Verwendung des Algorithmus approximiert werden? Da die approximierende Methode als gestörte bzw. modifizierte Version des ursprünglichen Problems betrachtet werden kann, kann die obige Frage als Frage über verschiedene Arten von Regularität der Abbildung zwischen Störungen und Lösungen verstanden werden. Oft ist es möglich die Lösungen eines Optimierungsproblem durch eine Menge von Optimalitäts- bedingungen zu beschreiben; diese können Gleichungen, Ungleichung, aber auch Mengeninklusionen sein. Daraus ergibt sich die Notwendigkeit, die Regularität von mengenwertigen Abbildungen - oder allgemeiner, die Regularität von verallgemeinerten Gleichungen - zu untersuchen. In den vergangenen Jahrzehnten gab es erhebliche Fortschritte bei der Untersuchung der Regularität verschiedener Arten von Abbildungen. Allerdings brachten wissenschaftliche, technische und ökonomische Problemstellungen, sowie neue mathematische Techniken auch neue Herausforderungen mit sich. In diesem Projekt wollen wir einige wichtige Teilbereiche der Regularitätstheorie, insbesondere richtungsgerechte, globale, sowie Halb- und Subregularität für verallgemeinerte Gleichungssysteme weiter entwickeln. Dabei spielt die Abschätzung von Regularitätsradien eine wichtige Rolle. Diese erlaubt es, zu beurteilen, wie robust die erwähnten Regularitätseigenschaften gegenüber Datenänderungen sind. Ein wichtiger Teil des Projektes wird die Anwendung der Regularitätstheorie auf den Entwurf und die Fehlerabschätzung von numerischen Optimierungsalgorithmen sein, Der Schwerpunkt wird dabei auf Systemen liegen, die durch gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen beschrieben werden können.

Die Verwendbarkeit von optimalen Lösungen für mathematische Optimierungsprobleme hängt von ihrer Stabilität gegenüber verschiedenen Arten von Störungen ab. Wenn "kleine" Störungen, die durch Ungenauigkeiten bei der Modellierung, Parametrisierung oder numerischen Näherungen verursacht werden, zu "großen" Änderungen der optimalen Lösung führen, kann die Angemessenheit und der Nutzen der Lösung fraglich sein. Aus diesem Grund ist die Frage nach der Stabilität optimaler Lösungen, die je nach Kontext auf verschiedene sinnvolle Weise mathematisch formalisiert werden kann, im Bereich der mathemischen Optimierung von fundamentaler Bedeutung. Die übliche Methode zur Untersuchung der Stabilität der optimalen Lösung(en) besteht darin, die Stabilität eines Systems von (notwendigen) Optimalitätsbedingungen zu untersuchen, welche im Zusammenhang mit dem Optimierungsproblem stehen. Dieses System kann als verallgemeinerte Gleichung (d. h. als Inklusion in geeigneten Räumen) betrachtet werden, die eine mengenwertige Abbildung enthält welche als Optimalitätsabbildung bezeichnet wird. Mit anderen Worten: Die verschiedenen sinnvollen Konzepte der Stabilität der Lösungsmenge einer verallgemeinerten Gleichung können durch die Verwendung von verschiedenen Arten der metrischen Regularität (MR) von Abbildungen neu formuliert werden, was das Hauptthema des Projekts ist. Auf konzeptioneller Ebene erweitert das Projekt die allgemeine Theorie der MR (mit Schwerpunkt auf der sogenannten starken MR und der starken metrischen Subregularität), indem es zwei metrische Funktionale sowohl im Definitions- als auch im Bildbereich einer mehrwertigen Abbildung zwischen linearen Räumen betrachtet, wodurch es möglich wird, bestimmte Differenzierbarkeits- und Strukturanforderungen an die zugrunde liegenden Optimierungsprobleme erheblich zu lockern. Dies ist insbesondere wichtig für unendlich dimensionale Probleme des Mathematical Programmings, Probleme der optimalen Steuerung gewöhnlicher Differentialgleichungen und Optimierungsprobleme, die durch elliptische oder parabolische Gleichungen oder durch Navier-Stokes- und Boussinesq-Gleichungen eingeschränkt sind. Die erzielten Ergebnisse umfassen hinreichende Bedingungen für verschiedene Arten von MR, hinreichende Optimalitätsbedingungen, Anwendungen für die Regularisierung optimaler Steuerungsprobleme und Fehleranalysen numerischer Methoden. Teilweise basierend auf diesen Ergebnissen wurden im Rahmen des Projekts neue Methoden zur Vorhersage und Kontrolle von Epidemien entwickelt, bei denen verschiedene Arten der Heterogenität der Bevölkerung berücksichtigt werden (Immunitätsniveau, geographische Raumlage, usw.).