Neue Entwicklungen in mengentheoretischem Forcing

Wir untersuchen forcing Konstruktionen um das Kontinuum groß zu machen (für Anwendungen in set theory of the reals), und forcing und große Kardinalzahlen: Baumeigenschaften, Ideale, und Reflexion.

Das Gebiet des Projekts ist Mengenlehre. Ähnlich wie Euklid vor mehr als 2000 Jahren eine axiomatische Fundierung der Geometrie entwickelt hat, stellt die Mengenlehre eine axiomatische Fundierung der gesamten modernen Mathematik zur Verfügung: Ein mathematischer Satz wird heute genau dann allgemein als bewiesen akzeptiert, wenn er im mengentheoretischen formalen System ZFC bewiesen werden kann. Es gibt nun bestimmte Sätze, weder in ZFC beweisbar noch in ZFC widerlegbar sind. Solche Sätze nennt man unentscheidbar. Berühmte Beispiele sind (entsprechend dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz) die Widerspruchsfreiheit von ZFC, sowie die sogenannte Kontinuumshypothese CH (Jede unendliche Teilmenge der reellen Zahlen ist entweder gleich groß wie die natürlichen oder gleich groß wie die reellen Zahlen). Die Mengenlehre selbst stellt Methoden zur Verfügung, um die Unentscheidbarkeit vieler Sätze zu beweisen: Die wichtigste ist die forcing Methode, die seit Ihrer Entwicklung durch Cohen in den 60er Jahren zu einer vielschichtigen und tiefen Theorie ausgebaut wurde. Das Projekt beschäftigt sich insbesondere mit Kardinalzahlcharakteristika. Ein typisches Beispiel: Die Vereinigung von abzählbar vielen Nullmengen ist wieder Nullmenge. Es gibt aber offenbar kontinuum viele Nullmengen (z.B. alle Singletons), deren Vereinigung nicht null ist. Wieviele Nullmengen braucht man also, um eine nicht-Nullmenge zu bekommen? Diese Zahl (eine Kardinalzahlcharakteristik) nennt man die Additivität des Nullideals, add(null). Es gilt also 0 < add(null) = 20 , unter CH gilt also add(null) = 20 = 1 . Mit den Idealen der Lebesgue-Nullmengen und der mageren Mengen kann man noch weitere Kardinalzahlcharakteristika definieren, dieimsogenanntenCichon-Diagramm zusammengefasst sind. Im Rahmen des Projekts wurde unter Anderem gezeigt, dass konsistenterweise mehrere Einträge in Cichons diagram paarweise verschieden sind.