Kanonische Modelle für Kardinalzahlcharakteristiken

Als eine der wichtigsten Errungenschaften der axiomatischen Mengenlehre hat Paul Cohen in den 1960ern zeigen können, dass eines der größten offenen Probleme der Mathematik, die sogenannte Kontinuumshypothese, eigentlich unlösbar ist. In anderen Worten ist es mit den üblichen mathematischen Methoden weder möglich zu beweisen, dass die Kontinuumshypothese wahr ist, noch dass sie falsch ist. Die Methode, die Cohen hierzu verwendet hatte, wurde in den Jahren darauf weitgehend ausgebaut und ist als Forcing (zu Deutsch Erzwingungsmethode) bekannt. In den 60er und 70ern fand eine wahrhaftige Explosion an Resultaten statt, die alle zeigen konnten, dass bestimmte vormals offene Fragen der Mathematik logisch nicht entscheidbar sind. Viele verschiedene Forcing-Techniken wurden hierzu entwickelt, um die Methode an das jeweilige Problem anzupassen. Forcing ist heute der zentrale Gegenstand der modernen Mengenlehre. Das Ziel unseres Projektes ist es, eine neue Forcing-Technik zu entwickeln, die auf Fragen bezüglich Ungleichungen von sogenannten Kardinalzahlcharakteristiken angewendet werden kann. Vereinfacht ausgedrückt sind Kardinalzahlcharakteristiken Größen, die messen, ab wann eine Menge (meistens eine Menge von reellen Zahlen) bestimmte andere Großheits-Eigenschaften besitzen kann. Zum Beispiel kann man sich fragen, welche Anzahl an Elementen eine Menge von Zahlen mindestens haben muss, damit eine zufällig gewählte Zahl mit einer Wahrscheinlichkeit ungleich Null in diese fällt. Hierbei bezieht sich Anzahl auf die sogennante Kardinalität einer (möglicherweise unendlichen) Menge. Die Technik, die wir in diesem Projekt entwickeln wollen, basiert auf einem neuen Ansatz, der das Potential hat, einige Nachteile der derzeit verwendeten Techniken zu bewältigen. Es ist zu erwarten, dass unsere Technik auch auf weitere Probleme angewendet werden kann.