Generische große Kardinalzahlen und Determiniertheit

Die Mengenlehre ist das mathematische Studium der Unendlichkeit und war sowohl bei der Beantwortung ihrer eigenen grundlegenden Fragen als auch bei der Anwendung in anderen Bereichen sehr erfolgreich. Gödels Programm ist ein wichtiges mengentheoretisches Unterfangen, das sich mit dem fundamendalsten Problem der Mengenlehre befasst, nämlich der Tatsache, dass viele grundlegende Fragen über unendliche Mengen nicht durch das Standard-Axiomensystem ZFC entschieden werden. Ein wichtiger Aspekt von Gödels Programm ist die Untersuchung von Theorien mit hoher logischer Stärke, die in einigen mengentheoretischen Fragen nicht übereinstimmen, aber durch ihre gegenseitige Interpretierbarkeit als verschiedene Aspekte desselben Vorhabens angesehen werden können. In diesem Projekt ist es unser Ziel, Brücken zwischen zwei solchen Theorien zu schlagen: generische große Kardinalzahlen und starke Formen des Axioms der Determiniertheit. Eines der Hauptziele dieses Projekts ist die Konstruktion von dichten Idealen auf den ersten omega überabzählbaren Kardinalen. Es wird angestrebt, solche Ideale mit Hilfe von Cohens Methode des Forcierens sowohl über Modelle der Determiniertheit als auch über Modelle traditioneller großer Kardinalzahlen zu konstruieren. Dies wird zeigen, dass die Theorie der dichten Ideale durch zwei verschiedene Grundgerüste interpretiert werden kann. Solche Ideale wurden bereits für die ersten beiden überabzählbaren Kardinalzahlen ausgearbeitet, aber die Konstruktion solcher Ideale für höhere Kardinalzahlen war bisher ein großes offenes Problem in der Mengenlehre. Die Existenz solcher Ideale hat eine Reihe von Anwendungen in der unendlichen Kombinatorik, Modelltheorie und Algebra. Unser Ziel ist es auch, die exakte Konsistenzstärke der Theorie, die die Existenz solcher Ideale behauptet, zu kalibrieren, indem wir Modelle der Determiniertheit aus solchen Idealen konstruieren und die gewünschte gegenseitige Interpretation liefern. Das Projekt hat einen hohen Innovationsgrad, da die möglichen Verbindungen zwischen Determiniertheit und dichten Idealen oberhalb der ersten unabzählbaren Kardinalzahl noch nicht erforscht wurden. Unsere Methoden werden Innovationen in der Forcing-Technologie beinhalten, sowohl im klassischen Kontext von ZFC mit großen Kardinalzahlen, als auch im spezielleren Kontext des Forcings über Modelle der Determiniertheit. Unsere Konsistenzkalibrierung stößt an kürzlich entdeckte Grenzen der Kernmodellinduktion und sollte daher zu Durchbrüchen in dieser Methodik führen.