Neue Aspekte automorpher und glatt-automorpher Formen

Die Zahlentheorie ist eine der ältesten Disziplinen der Mathematik und damit des menschlichen Geistes. Dennoch sind bis heute viele ihrer größten Rätsel ungelöst. Und das, obwohl die Zahlentheorie im Grunde von nur einer Grundfrage ausgeht, die, in einer den Naturwissenschaften entlehnten Sprache, wie folgt formuliert werden könnte: Welche Naturgesetze regeln das Zusammenspiel der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 (usw. bis ins Unendliche)? Eine der frühesten Entdeckungen der Zahlentheorie und damit eines der ältesten Beispiele eines solchen Naturgesetzes ist, dass alle diese Zahlen im Sinne der Multiplikation als Produkt von Primzahlen geschrieben werden können was zeigt, dass Primzahl für die Mathematik nichts anderes darstellen, als das, was Atome für die Physik und Chemie bedeuten. Doch während die Anzahl der chemischen Elemente, also der Arten von verschiedenen Atomen, endlich ist, wissen wir seit der Zeit Euklids ( 300 v. Chr.), dass die Anzahl der Primzahlen unendlich ist: Für jede, auch noch so große Primzahl gibt es stets eine weitere Primzahl, die noch größer ist. Und so weiter bis ins Unendliche! Eben diese Unendlichkeit der Primzahlen stellt ein Problem fundamentalen Ranges dar, das bei jedem Versuch, diese zu verstehen, von grundlegender Bedeutung ist. Das 20. Jahrhundert hat in der mehr als 2500 Jahre alten Geschichte des Versuchs, die Verteilung von Primzahlen im unendlichen Meer aller Zahlen zu verstehen, unglaubliche Fortschritte gemacht: Die stärksten unserer heutigen Techniken kreisen um das, was man automorphe Formen nennt. Wir erwarten, dass diesen automorphen Formen all jene Informationen kodieren, die wir über Primzahlen - aber auch darüber hinaus, über andere tiefgreifende ungelöste Fragen der Zahlentheorie zu erringen versuchen. In diesem Forschungsprojekt werden wir neues Licht auf einige der grundlegendsten Probleme werfen, die bei der Untersuchung automorpher Formen auftreten: (i) Wir werden einen neuen und moderneren Ansatz zur Schaffung der Grundlagen der Theorie untersuchen, der darauf abzielt, die Definition einer automorphen Form zu erweitern und zu verbessern; (ii) Wir werden ein verbessertes Konzept der Eisenstein-Reihen entwickeln, die zu den zentralsten Objekten im Bereich der automorphen Formen gehören; (iii) Wir werden neue Ergebnisse zu den Werten der Riemannschen Zeta-Funktion und ihrer Verbindung mit der Dimension bestimmter Räume automorpher Formen erzielen.