Metrische Lorentzgeometrie und optimaler Transport

In den letzten Jahren wurde, federführend auch von unserer Forschungsgruppe, ein neuer Zugang zur mathematischen Sprache, die der Einsteinschen Relativitätstheorie zugrunde liegt, entwickelt. Die grundlegende Idee in diesem Gebiet ist es, die sogenannte Zeit-Distanz-Funktion in den Mittelpunkt der Überlegungen zu stellen. Diese Funktion ordnet je zwei (in kausaler Relation stehenden) Punkten einer Raumzeit die maximal mögliche Eigenzeit zu, die ein Beobachter auf dem Weg von einem Ereignis zum anderen erfahren kann. Wie aus dem berühmten Zwillingsparadoxon zu ersehen ist, muss diese Funktion der Tatsache Rechnung tragen, dass Umwege in der Raumzeit zu kürzeren Wegen führen (im Unterschied zur Situation in der euklidischen Geometrie). Indem man sehr allgemeine Räume, die mit einer solchen Zeit-Distanz-Funktion versehen sind, sogenannte Lorentz-Längenräume untersucht, kann man viele Konstruktionen der allgemeinen Relativitätstheorie in einen wesentlich allgemeinerem Rahmen stellen. Insbesondere ist es dadurch möglich, Krümmung zu messen, indem man geodätische Dreiecke mit Dreiecken in gewissen Modellräumen mit konstanter (klassischer) Krümmung vergleicht. Das Projekt verfolgt drei Ziele: Erstens sollen die Grundlagen der mathematischen Theorie der Lorentz.Längenräume weiterentwickelt werden, indem neue Resultate zur Messung von Krümmung in diesem Setting bewiesen werden. Zweitens soll der Bezug zur Theorie des optimalen Transportes vertieft werden. Bei letzterer handelt es sich um ein mathematisches Gebiet, das sich mit dem Auffinden optimaler Lösungen von Transportproblemen (in einem sehr allgemeinen Sinn) beschäftigt. In Kombination mit der Theorie der Lorentz-Längenräume ist es möglich, aus der Veränderung von Raumzeit-Volumina Rückschlüsse auf die Krümmung einer Raumzeit (und somit, laut Einstein, auf den Energieinhalt des Raumes) zu ziehen. Schließlich wollen wir sogenannte Starrheits-Resultate herleiten. Diese besagen, dass unter gewissen Bedingungen an die Krümmung, zusammen mit Informationen über die Langzeit-Existenz von Geodäten geschlossen werden kann, dass die Raumzeit von besonders einfacher (nämlich Produkt-) Form ist.