Ärger in Cantors Paradies

Ende des 19. Jahrhunderts legte Cantor den Grundstein für die moderne Mengenlehre mit seinem Beweis, dass es verschiedene Unendlichkeiten - insbesondere mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen - gibt. Seine Forschungen stießen zunächst auf einigen Widerstand, aber Hilbert verteidigte ihn mit der berühmten Aussage: Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können. Seit Cantors Arbeit sind Mengentheoretiker daran interessiert zu verstehen, welche unterschiedlichen Eigenschaften die verschiedenen Unendlichkeiten haben und wie sie sich zueinander verhalten. Eine verbreitete Thematik ist es, bekannte Eigenschaften der kleinsten Unendlichkeit (der Menge der natürlichen Zahlen) zu nehmen und zu fragen, ob größere Unendlichkeiten ähnliche Eigenschaften haben können. Manchmal führt dies zu einer "großen Kardinalzahl", einer Zahl, die so groß ist, dass ihre Existenz im Standard-Axiomensystem ZFC nicht bewiesen werden kann. Ein anderes Mal finden wir eine Eigenschaft, die relativ kleine Unendlichkeiten haben können, die aber nicht bewiesen werden kann, eben weil sie eine Spur vor einer großen Kardinalzahl hat. Diese "großkardinalen Eigenschaften" von kleinen Unendlichkeiten sind intensiv untersucht worden, weil es sich um natürliche Begriffe handelt, die viele Konsequenzen für gewöhnliche mathematische Strukturen wie die reellen Zahlen, Kollektionen von Funktionen auf reellen Zahlen usw. haben. Einige Mengentheoretiker haben vorgeschlagen, Axiome anzunehmen, die behaupten, dass großkardinale Eigenschaften im mathematischen Universum recht häufig gelten. Neuere Arbeiten haben jedoch gezeigt, dass das umgebende Terrain etwas tückisch ist; verschiedene Formen dieser Eigenschaften kommen manchmal auf unerwartete Weise miteinander in Konflikt. Dieses Projekt zielt darauf ab, das Ausmaß dieser Spannungen sowie noch zu entdeckende Harmoniestränge zu kartografieren. Der Schwerpunkt liegt auf den Wechselwirkungen zwischen drei Arten von Phänomenen rund um Nachfolgerkardinalzahlen: saturierte Ideale, Chang`s Vermutung und die Baumeigenschaft.