Ausschneiden und Einfügen in niedrigdimensionaler Topologie

Topologie ist ein Zweig der Mathematik, der Räume bis auf stetige Deformationen studiert. Topologen sehen also zwei Räume als gleich an, wenn einer in den anderen deformiert werden kann, durch Strecken oder Biegen, aber nicht etwa durch Schneiden oder Kleben. Insbesondere können sich Entfernungen und Flächen dabei verändern. So werden also zum Beispiel alle Kreise, Ellipsen und sogar Quadrate als gleich angesehen, da sie nur ein Loch haben, während eine Brezel mit drei Löchern verschieden von einem Kreis ist. Die Dimension eines Raumes ist die Anzahl der Koordinaten, die man braucht, um den Ort der Objekte eindeutig zu beschreiben. Auf der Erdoberfläche kann man zum Beispiel jeden Punkt durch seinen Längengrad und Breitengrad angeben. Also ist die Oberfläche 2-dimensional. Für den Raum braucht man noch die Höhe, also ist er 3-dimensional. Etwas abstrakter kann man so auch höhere Dimensionen betrachten, ohne dass man dafür Namen einführen müsste (wie etwa Zeit als vierte Dimension). Die Dimension alleine reicht aber nicht aus, um einen Raum zu beschreiben. So sind etwa eine Gerade und ein Kreis beide 1-dimensional, aber doch topologisch verschieden. Man muss den Kreis erst aufschneiden, um eine Gerade zu bekommen. Das gilt auch für 2- dimensionale Räume, wie etwa für die Oberfläche von Bechern mit unterschiedlich vielen Henkeln. Sie sind topologisch alle verschieden, und man muss schneiden, um die Anzahl der Henkel zu verändern. Wir verstehen inzwischen 1-und 2-dimensionale Räume vollständig, und erstaunlicherweise auch Räume hoher Dimension, weil man dort die zusätzlichen Dimensionen sehr flexibel einsetzen kann. Aber es bleiben ausgerechnet die 3- und 4- dimensionalen Räume sehr schwierig zu verstehen. Niedrig-dimensionale Topologie ist ein Zweig der Mathematik, der sich genau damit auseinandersetzt, mit den 3-und 4-dimensionalen Räumen. Es gibt viele Interaktionen mit anderen Gebieten, wie etwa mit Dierentialgeometrie, hyperbolischer Geometrie, Kombinatorik, Darstellungstheorie, globaler Analysis, klassischer Mechanik und theoretischer Physik. Diese Projekt konzentriert sich auf Fragen der niedrig-dimensionalen Topologie, die man mit Cut and Paste Techniken der verschiedensten Form lösen kann. Wir schneiden Räume in elementare Stücke, die als solche einfacher zu studieren sind, und erhalten dann Ergebnisse, indem wir diese Stücke wieder zusammenkleben. Die Kunst dieser Technik besteht darin, solche elementaren Stücke zu entwickeln, die kompliziert genug sind, um möglichst viel Information des ursprünglichen Raumes in sich zu tragen, aber einfach genug sind, um erfolgreich analysiert werden zu können.