Wachstumsmodelle und Quasi-Irrfahrten

Zufall spielt heutzutage eine wichtige Rolle, sowohl in der Mathematik als auch im echten Leben. Wahrscheinlichkeiten und zufällige Prozesse haben in vielen so unterschiedlichen Bereichen wie der Finanzwirtschaft, künstlicher Intelligenz, Biologie oder Klimawandel, eine bedeutende Rolle. Dieses Forschungsprojekt untersucht Prozesse die sich nach Quasi-zufälligen Regeln entwickeln. Stellen Sie sich eine Person vor die durch eine sehr große Stadt wandert, und an jeder Straßenkreuzung die weitere Richtung mittels eines Würfelwurfes bestimmt. Der Würfel kann fair sein, oder es könnten auch alle Würfelseiten die gleiche Zahl zeigen. In so einem Fall wäre kein Zufall im Spiel. Die Bewegungen unseres Wanderes werden in gewissem Sinne durch die Symbole auf den Würfelseiten kodiert. Wir stellen uns vor der Wanderer vollführt seine Bewungung bis in alle Ewigkeit, und würfelt dabei auch unendlich oft. Dieser Prozess ist eine der Quasi- zufälligen Wanderungen, die wir versuchen mathematisch zu verstehen. Wir interessieren uns für Fragen wie: wird die Person unendlich oft an ihren Ausgangspunkt zurückkehren, und wenn nicht, in welcher Weise bewegt sie sich ins Unendliche. Die Antwort auf solche Fragen, hängt einerseits von dem gewählten Würfel, andererseits auch von der Struktur des Straßennetzes in dem sich der Wanderer bewegt ab. In einem gitterartigen Straßennetz, wie in Manhattan verhält sich die Wanderung anders, als ein einer Stadt mit vielen Wegkreuzungen die sich später nicht wieder vereinen. Eines der Ziele des Projekts ist es zu verstehen, wie das Verhalten des Wanderers, genau durch die Geometrie des Straßennetzes beeinflusst wird. Ferner, möchten wir untersuchen, wie der Teil der Stadt der von unserem Wanderer besucht wurde aussieht. Lassen wir unseren Wanderer eine Million Schritte machen. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass er alle Orte der Stadt besucht hat, die weniger als 5 Kilometer von seinem Startpunkt entfernt sind? Oder gibt es Straßen die niemals besucht werden, selbst wenn der Wanderer unendlich lange unherirrt? Solche Fragen möchten wir für eine allgemeine Klasse von zufälligen und deterministischenProzesse analysieren. Weiters untersuchen wir den Fall, wo nicht nur ein Wanderer die Stadt erkundet. Wir lassen viele Wanderer gleichzeitig ihre Quasi-zufällige Wege durch die Stadt nehmen. Wie lange würde es im Schnitt dauern bis sich die Wanderer treffen? Wie lange dauert es bis sie gemeinsam einen Bereich der Stadt vollständig besucht haben? Das sind Beispiele fundamentaler Fragen in der Theorie zufälliger Prozesse, die auch wichtige Anwendungen besitzen: eine solche Anwendung wäre zum Beispiel die Verbreitung des Virus in einer Bevölkerung.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie und der Zufall sind zentral für das Verständnis der unvorhersehbaren Muster, die in der Natur, der Gesellschaft und der Mathematik selbst entstehen. Das Projekt "Wachstumsmodelle und Quasi Irrfahrten" befasst sich mit Prozessen, die sich zufällig in der Zeit entwickeln, und liegt an der Schnittstelle von Wahrscheinlichkeitstheorie und diskreter Mathematik. Sein Hauptziel war es, zu verstehen, wie der zugrunde liegende Zustandsraum das Verhalten zufälliger Prozesse und von Modellen interagierender Teilchensysteme beeinflusst. Insbesondere Räume mit fraktaler oder selbstähnlicher Struktur spielten in unseren Untersuchungen eine zentrale Rolle. Unser Ziel war es, eine rigorose mathematische Analyse der folgenden Modelle auf einer breiten Klasse fraktaler Räume zu liefern: Clusterwachstumsmodelle (interne diffusionslimitierte Aggregation, Rotor Aggregation, teilbare Sandhaufen) Abelsche Sandhaufen Modelle der Virusausbreitung Verzweigungsprozesse mit Charakteristik Die drei Cluster Aggregationsmodelle basieren auf Teilchen, die sich (zufällig oder deterministisch) bewegen und sich nach vorgegebenen Regeln an einen bestehenden Cluster anlagern. Auf Sierpiński Dreieck Graphen haben wir Grenzwertresultate für diese Modelle erhalten und die Universalität des Limes bestätigt. Bei den Virusausbreitungsmodellen haben wir die Dynamik von Infektionen in inhomogenen Umgebungen untersucht und Ergebnisse für die Dauer von Ausbrüchen sowie die Gesamtzahl der Infizierten hergeleitet. Verzweigungsprozesse mit Charakteristik modellieren die Entwicklung von Populationen und sind eng mit Urnenmodellen verwandt. Für diese Prozesse haben wir Gesetze der großen Zahlen und zentrale Grenzwertsätze bewiesen. Schließlich kann das abelsche Sandhaufenmodell - ein Modell der Massenumverteilung, relevant etwa für Schneelawinen oder von Erdbeben betroffene Gebiete - aus mathematischer Sicht als Random Walk auf einer (endlichen) abelschen Gruppe aufgefasst werden. Für dieses Modell haben wir Ergebnisse zur Stabilisierung, zur mittleren Höhe, sowie zum Skalenlimit der Identitätskonfiguration der Sandhaufengruppe erhalten.