Lipschitz-Funktionen, Differenzierbarkeit und kleine Mengen.

Auf einem unendlichen Gitter befindet sich eine elektronische Schaltung, die aus einer quadratzahligen Anzahl von Komponenten besteht, die mit Kabeln verbunden sind. Die Komponenten sind zufällig positioniert und jede Komponente wird mit einem Kabel mit jeder anderen Komponente verbunden. Darüber hinaus ist jedes Kabel eindeutig und zu genau einem Paar der Komponenten passend. Unsere Aufgabe ist es, diese Schaltplatte aufzuräumen, in dem wir die Komponenten so umformen, dass sie ein Quadrat mit n Zeilen und n Spalten bilden. Wir entfernen alle Kabel, bevor wir die Komponenten zu einem Quadrat umformen. Danach müssen wir die Kabel wieder verbinden und dabei aufpassen, dass jedes Kabel wieder mit seinem eindeutigen Paar von Komponenten verbunden wird. Allerdings könnte es sein, dass in der bisherigen Umformung die Abstände zwischen einigen Paaren von Komponenten größer geworden ist. Deswegen müssen wir einige Kabel zuerst dehnen, damit wir sie wieder verbinden können. Im Jahr 2017 wurde bewiesen, dass die ursprungliche Lage der Schaltung so ungünstig sein kann, dass wir einige Kabel beliebig stark dehnen müssen. Dieses Resultat löst ein offenes Problem von Feige, das im Jahr 2002 gestellt wurde. Was noch unbekannt bleibt, ist die Größe der kleinst möglichsten Dehnung, die für alle mögliche Anfangspositionen von Schaltungen mit m Kompenten ausreichend ist. Weiter ist es noch unbekannt, wie die schlechtesten Anfangspositionen der Schaltung, die eine große Dehnung erzwingen, aussehen. In diesem Projekt versuchen wir diese Fragen zu beantworten. Abbildungen, die Abstände zwischen Punkten höchstens einen konstanten Faktor dehnen, heißen Lipschitz und bilden das Hauptthema dieses Projekts. Zusätzlich zu dem oben beschriebenen Problem untersuchen wir spezielle Arten von Lipschitz-Abbildungen auf einem Raum, die Volumen nicht zu viel verkleinen. Wir beschäftigen uns mit einem lange offenen Problem, nähmlich der Frage, ob solche Abbildungen unendlich viele Punkte auf den gleichen Bildpunkt abbilden können. Lipschitz-Funktionen auf endlichdimensionalen Räume sind fast überall differenzierbar. Wir zielen darauf, die folgende Frage zu beantworten: Kann man bestimmen, ob eine Menge in der Ebene Fläche Null hat, in dem man nur die Punkte von Differenzierbarkeit von Lipschitz Funktionen der Ebene in dieser Menge betrachtet? Im letzten Forschungsprogramm des Projekts geht es um Lipschitz Abbildungen auf unendlichdimensionalen Räumen, die Abstände nicht vergrößern. Wir suchen im Laufe dieses Projekts Eigenschaften, die fast alle solche nicht expansiven Abbildungen besitzen, zu bestimmen. Darüber hinaus untersuchen wir, ob in einem gegebenen Punkt fast alle nicht-expansive Abbildungen den maximalen Dehnungsfaktor eins erreichen.

Im Rahmen des FWF Projekts "Lipschitz-Abbildungen, Differenzierbarkeit und außergewöhnliche Mengen" haben sich Forscher mit wichtigen Eigenschaften von Lipschitz - Abbildungen beschäftigt. Eine Abbildung heißt Lipschitz, wenn sie Abstände höchstens um einen konstanten Faktor vergrößert. Wenn dieser konstante Faktor gleich Eins ist, bedeutet das, dass die Abbildung Abstände nicht vergrößern darf. Solche Abbildungen nennt man nichtexpansiv. Ein sinnvoller Begriff eines Abstands zwischen zwei nichtexpansiven Abbildungen kann so definiert werden, dass Mengen von nichtexpansiven Abbildungen zu metrischen Räumen werden, die sehr schöne Eigenschaften haben. Ein Thema des Projekts war die Untersuchung typischer Eigenschaften in solchen Räumen, oder anders geschrieben, Eigenschaften die in einem gewissen Sinn sehr häufig in solchen Räumen vorkommen. Dem Projekt sind Fortschritte in dieser Richtung gelungen, sowohl in klassischen endlichdimensionalen Räumen als auch in abstrakteren Räumen, in denen der Abstand zwischen zwei Punkten durch die Längen verbindender Weg e definiert wird. Mit der Lipschitz-Bedingung sind einige interessante Eigenschaften verbunden. Zum Beispiel sind Lipschitz-Abbildungen fast überall differenzierbar. Das bedeutet, dass sich die Abbildung in einer sehr kleinen Umgebung fast jedes Punktes sehr gut durch deutlich weniger komplizierte Abbildungen approximieren lässt. Es gibt allerdings eine kleine Menge von Punkten, in denen diese Approximation nicht funktioniert. Deshalb sind Lipschitz- Abbildungen und kleine (oder außergewöhnliche) Mengen eng verwandt. Projektwissenschafter haben neue Eigenschaften von Lipschitz-Abbildungen und außergewöhnlichen Mengen entdeckt. Insbesondere haben sie festgestellt, dass sich Teilmengen eines endlichdimensionalen Raums in zwei Gruppen teilen lassen, abhängig davon, wie sich Lipschitz-Abbildungen innerhalb der Mengen verhalten. Ein weiteres Ziel des Projekts war es Lipschitz-Abbildungen zu verwenden, um verschiedene metrische Räume zu vergleichen. Das Prinzip dahinter lautet: Wenn eine große Lipschitz-Konstante dafür notwendig ist, um einen metrischen Raum auf einen Anderen abzubilden, dann lässt sich daraus folgern, dass diese zwei metrische Räume stark verschieden sind. Für diese Forschungsarbeit haben Projektwissenschafter natürliche Verallgemeinerungen der Lipschitz-Bedingung betrachtet, in denen der Vergrößerungsfaktor nicht mehr konstant sein muss, sondern von dem Abstand zwischen den zwei relevanten Punkten abhängen darf. Dies hat zu einem neuen Vergleich von gitterähnlichen Mengen in endlichdimensionalen Räumen geführt. Die Ergebnisse des FWF Projekts "Lipschitz-Abbildungen, Differenzierbarkeit und außergewöhnliche Mengen" liefern wertvolle neue Beiträge zu verschiedenen Forschungsgebieten, darunter diskrete metrische Räume, Mengenlehre und geometrische Maßtheorie.