Wie stark sind sehr große Kardinalzahlen?

Annahmen in Mengenlehre über die Existenz "großer Kardinalzahlen" sind derzeit das Hauptgebiet in der Analyse der relativen Konsistenz von mathematischen Aussagen sowie von neuen Axiomen für die Mathematik. Mit "sehr große Kardinalzahlen" nennen wir jene Annahmen, die die Konsistenz aller anderen großen Kardinalzahlen implizieren, und die daher unter allen Axiomen großer Kardinalzahlen die größte Stärke haben, und sich als besonders fruchtbar erweisen könnten. Leider gibt es derzeit keine Methoden, die es erlauben, diese Stärke in der Praxis zu verwenden, um Resultate in Mengenlehre und in der Mathematik überhaupt zu erreichen. Das Ziel dieses Projektes ist es, diese Lücke zu füllen. In der ersten Phase werden wir uns einer technischen Analyse der Konsistenzstärke von sehr großen Kardinalzahlen widmen, indem wir die möglichen Strukturen eines Universums erkunden/beschreiben, das solche Kardinalzahlen enthält, und die Bedingungsmengen ("forcing notions") beschreiben, die sich in Bezug auf diese Kardinalzahlen gutartig verhalten. In der zweiten Phase werden wir die Ergebnisse der ersten Phase verwenden, um Resultate in deskriptiver Mengenlehre, Topologie und Algebra zu beweisen. In der dritten Phase werden wir versuchen, die sehr großen Kardinalzahlen voranzutreiben, indem wir noch stärkere Annahmen analysieren. Das Projekt wird am KGRC (Kurt Gödel Research Center) ablaufen.

Große-Kardinalzahl-Axiome sind derzeit der Forschungsschwerpunkt für die Untersuchung der relativen Widerspruchsfreiheit mathematischer Sätze und neuer mathematischer Axiome. Wir nennen die wenigen Axiome, welche die Widerspruchsfreiheit aller großen Kardinalzahlen implizieren, sehr große Kardinalzahlen. Sie haben deshalb die größte Stärke von allen großen Kardinalzahlen und sind potenziell die ergebnisreichsten. Leider gibt es derzeit keine Instrumente, die es Mathematikern erlauben, diese Stärke praktisch zu nutzen und Resultate in Mengenlehre und Mathematik zu erreichen. Das Ziel dieses Projektes bestand darin, diese Lücke zu füllen. Die erste Phase bestand in der technischen Untersuchung der Widerspruchsfreiheit von sehr großen Kardinalzahlen, in der Kartographierung der möglichen Strukturen die sehr große Kardinalzahlen enthalten und in der Abgrenzung der Forcings, welche sich gut mit sehr großen Kardinalzahlen vertragen. Die zweite Phase bestand darin, sehr große Kardinalzahlen auf besser erreichbare kleine Kardinalzahlen zu schrumpfen, um Ergebnisse zu erzielen, welche lange offene Probleme lösen könnten, und Mengen ohne Auswahlaxiom besser beschreiben zu können. Das Projekt wurde am Kurt Gödel Research Center durchgeführt.