Differentielle Analysis: Störung und Quasianalytizität

Störung ist ein fundamentales Konzept der Mathematik sowie der Natur-wissenschaften und der angewandten Wissenschaften, basierend auf der Idee, ein System zu studieren, das geringfügig von einem idealen System abweicht, für welches die Lösung bekannt ist. Die Störungstheorie linearer Operatoren etwa, begründet durch Rayleigh und Schrödinger in den 1920ern im Studium der Akustik und der Quantenmechanik, untersucht das Verhalten der Spektraleigenschaften bei kleiner Änderung des Operators. Ein zentrales Problem dieser Theorie ist die Regularität der Wurzeln einer parametrisierten Familie von Polynomen (d.h. Störung von Polynomen). Störung von Polynomen spielt wegen ihrer Fundamentalität in so unterschiedlichen Gebieten wie den partiellen Differenzialgleichungen (PDG) oder der algebraischen Geometrie eine bedeutende Rolle. Holmgrens Arbeit zur Hitzegleichung zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts zeigte, dass die Lösungen gewisser PDG in sogenannten ultradifferenzierbaren Funktionenräumen liegen, die durch Abschätzungen an die iterierten Ableitungen definiert sind. Die ultradifferenzierbare Funktionen bilden Klassen zwischen den reell analytischen und den glatten Funktionen, die zwischen den beiden Extremen interpolieren und daher eine wichtige Rolle in der Regularitätstheorie der PDG spielen. Ultradifferenzierbare Klassen sind entweder quasianalytisch, wenn jedes Element eindeutig durch seine unendliche Taylor-Entwicklung in jedem Punkt bestimmt ist, oder nicht- quasianalytisch. Das Konzept der Quasianalytizität, entdeckt am Ende des neunzehnten Jahrhunderts von Émile Borel, verallgemeinert die Eindeutigkeitseigenschaften analytischer Funktion und tritt in natürlicher Weise in der Harmonischen Analyse und der Theorie der PDG auf. In der letzten Dekade wurde Quasianalytizität zunehmend wichtig in der sogenannten zahmen reellen Geometrie, zum Teil weil Auflösung von Singularitäten in quasianalytischen Klassen verfügbar ist (und zum anderen Quasianalytizität erfordert). Andere Standardtechniken der lokalen analytischen Geometrie fehlen jedoch, was die quasianalytische Analysis technisch anspruchsvoll macht. Hauptziel dieses Projektes ist, die optimale Regularität der Wurzeln von Polynomen zu bestimmen und ultradifferenzierbare Funktionen in endlichen und unendlichen Dimensionen zu untersuchen, mit besonderem Augenmerk auf Quasianalytizität, sowie einige der klassischen offenen Probleme zu lösen. Diese Vorhaben sind verbunden durch ihre gemeinsamen Anwendungen in der Störungstheorie und den PDG. Das Regularitätsproblem für Wurzeln von Polynomen ist ein Spezialfall eines allgemeinen Liftungs-Problems für Darstellungen von reduktiven algebraischen Gruppen oder kompakten Lie-Gruppen. Es stellt somit einen Aspekt der breiteren Zielsetzung dar, analytische und geometrische Eigenschaften von Orbiträumen zu studieren.

In vielen mathematischen Problemen unterschiedlichster Natur begegnet man der Frage, wie regulär die Wurzeln eines Polynoms mit regulären Koeffizienten gewählt werden können. In diesem Projekt wurde dieses nichtlineare Problem gelöst: wir konnten die optimale Regularität der Wurzeln unter minimalen Voraussetzungen erzielen. Die Uniformität unserer Abschätzungen hat vielseitige Anwendbarkeit der Resultate zur Folge. Die neue Methode, die wir für die Beweise entwickelt haben, wird zur Lösung einer Reihe weiterer Probleme der Differentiellen Analysis und darüber hinaus beitragen. Die eng verwandte Störungstheorie linearer Operatoren hat beispielsweise im Rahmen des Projektes eine Anwendung in der Kosmologie für Bosonensterne gefunden. Ein weiterer Schwerpunkt des Projektes war das Studium von ultradifferenzierbaren Funktionenklassen. Das sind Teilklassen der Klasse der unendlich oft differenzierbaren Funktionen, die vor allem in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen ein bedeutende Rolle spielen. Es gibt zwei historische, nicht völlig kompatible Zugänge zu diesen Klassen. Im Rahmen des Projektes wurde eine ultradifferenzierbare Theorie entwickelt, die beide Zugänge umfasst, und erfolgreich zur Lösung einiger Problem angewandt. Beispielsweise wurde ein Kalkül für die ultradifferenzierbare Analysis im Unendlichdimensionalen entwickelt, Ausdehnungseigenschaften für ultradifferenzierbare Whitney-Jets charakterisiert und Anwendungen in der Microlokalen Analysis und der Asymptotischen Entwicklung und Summabilitätstheorie erbracht. Von besonderem Interesse in der Geometrie sind die quasianalytischen ultradifferenzierbaren Klassen, deren Elemente schon durch die sukzessiven Ableitungen in einem Punkt eindeutig bestimmt sind. Wir konnten beweisen, dass quasianalytische Ultradifferenzierbarkeit (im Gegensatz zur nicht-quasianalytischen) niemals in niedrigerer Dimension getestet werden kann. Ein verwandtes Thema, das im Projekt ausgiebig studiert wurde, waren Diffeomorphismengruppen verschiedener Regularität im n-dimensionalen Euklidischen Raum. Für eine Vielzahl von Regularitätsklassen konnten wir zeigen, dass die entsprechenden Diffeomorphismen eine unendlich dimensionale Lie-Gruppe bilden. Als Anwendung wurde die 1-dimensionale Hunter-Saxton Gleichung, welche im Studium von Flüssigkristallen auftaucht, in einigen dieser Klassen gelöst. In Bezug auf endliche Differenzierbarkeit (im Banachraum Setting) studierten wir Gruppen von Hölder- und Besov-Diffeomorphismen. Diese sind keine topologischen Gruppen, aber dennoch konnten wir starke Regularitätseigenschaften beweisen, insbesondere Abgeschlossenheit unter der Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Fortschritte wurden auch in der Analysis auf singulären Räumen erzielt. Einerseits wurden Liftingsprobleme für Orbiträume von Gruppenwirkungen studiert, andererseits eine große Klasse von singulären Räumen gefunden, für welche die Glattheit von Funktionen, die auf diesen Räumen definiert sind, auf glatten Kurven getestet werden kann.