Unterraumkorrekturverfahen für indefinite Probleme
Subspace correction methods for indefinite problems
Wissenschaftsdisziplinen
Informatik (40%); Mathematik (60%)
Keywords
-
Subspace Correction Methods,
Multilevel Methods,
Indefinite Systems,
Total Variation Minimization,
Partial Differential Equations,
Nonconforming Finite Elements
In diesem Projekt geht es um die Entwicklung und Erforschung neuer Unterraumkorrektur- verfahren (SC- Verfahren) zur numerischen Lösung von gekoppelten Systemen von partiellen Differentialgleichungen (PDE). Der Schwerpunkt liegt dabei auf Problemen die zu indefiniten beziehungsweise zu nahezu singulären symmetrisch positiv definiten Systemen führen. Unser Zugang ist ein ganzheitlicher in dem es zum Einsatz von speziellen problemangepassten Diskretisierungsverfahren kommt, die etwa gewisse Erhaltungssätze erfüllen, und die mit adaptiven Lösungsverfahren kombiniert werden. Auf diese Art lassen sich Methoden konstruieren, welche optimal sind im Hinblick auf (i) Approximationsgüte (ii) Rechenzeit (iii) Skalierbarkeit Das gegenständliche Projekt besteht aus den folgenden drei miteinander verknüpften Komponenten (C1)--(C3) mit Zielrichtung auf Systeme mit stark oszillierenden Koeffizienten: (C1): SC-Verfahren für Elastizitätsprobleme im Falle nahezu inkompressibler Stoffe und Stokes Gleichungen (C2): SC-Verfahren zur Minimierung diskreter Funktionale im Bereich der Datenwiederherstellung nach dem Prinzip der totalen Variation (C3): Auxiliary Space und SC-Verfahren für elliptische Probleme mit stark oszillierenden Koeffizienten Das primäre Ziele der vorgeschlagenen Forschungsarbeit ist es dazu beizutragen die Theorie und Anwendbarkeit von SC-Verfahren auf die oben genannten Problemklassen auszudehnen. Den Ausgangspunkt dazu bilden die Verwendung und das Zusammenspiel von problemangepassten Finite-Elemente-Methoden (FEM) (von passender Approximationsgüte) mit effizienten Vorkonditionierungs- bzw. Lösungsverfahren für die zugehörigen diskreten Probleme. In diesem Zusammenhang bieten sich oft nichtkonforme und unstetige Galerkinverfahren (DG-Verfahren) als adequate Diskretisierungstechniken an. Einige ihrer besonders günstigen Eigenschaften sind a) die relativ einfache Erweiterbarkeit auf Verfahren höherer Fehlerordnung b) ihre Eignung zur Behandlung komplexer Geometrien auch in Kombination mit unstrukturierten und hybriden Netzen/Gittern c) die Verwendbarkeit allgemeiner Elementtypen (auch nichtkonformer Elemente und nichtkonformer Netze/Gitter) d) die Verwendbarkeit einfacher Anpassungsstrategien e) Vorteile in Hinblick auf Parallelisierung Der wohl größte Nachteil von DG-Verfahren ist es, dass die resultierenden linearen Gleichungssysteme wesentlich größer sind (im Vergleich zu konformen Methoden gleicher Approximationsordnung) was deren Lösung erschwert und im Allgemeinen Computer- simulationen, selbst bei Verwendung der besten verfügbaren Algorithmen, erheblich verlangsamt und zum Teil sogar unzulänglich macht. Unsere Hauptaugenmerk liegt daher auf der Entwicklung neuer, effizienterer und robusterer Lösungsmethoden welche größere Problemklassen abdecken (siehe (C1)--(C3)). Letztendlich geht es uns auch um die Anpassung dieser Lösungsverfahren an industrielle Anwendungen, etwa im Bereich Reservoir-Engineering, oder an medizinische Anwendungen, wie etwa bei der Bestimmung der biomechanischen Eigenschaften von Knochensubstanz oder der Bildrekonstruktion aus tomographischen Daten. Eine besondere Herausforderung stellen gekoppelten Problemen für heterogene Materialien dar welche üblicherweise (verstärkt durch Koeffizientensprünge) zu exterm schlecht konditionierten Gleichungssystemen führen.
In diesem Projekt ging es um die Entwicklung und Erforschung neuer Unterraumkorrektur- verfahren zur numerischen Lösung von gekoppelten Systemen partieller Differential- gleichungen (PDG) wie sie in industrielle Anwendungen, etwa im Bereich der Lagerstätten- simulation, oder in medizinische Anwendungen, etwa im Bereich der Biomechanik oder der Steuerung von Strömungsprozessen, auftreten. Eine besondere Herausforderung stellen dabei Modelle von nahezu inkompressiblen und stark heterogene Materialien bzw. Medien dar, welche üblicherweise (verstärkt durch Sprünge in den Koeffizienten der PDG) zu extrem schlecht konditionierten linearen algebraische Gleichungssystemen führen. Das gegenständliche Projekt bestand aus den folgenden drei Komponenten (C1)(C3): (C1): Stabile Diskretisierungen und optimale iterative Lösungsverfahren für Elastizitäts- probleme im Falle nahezu inkompressibler Materialien und für Stokes Probleme. (C2): Stabile Diskretisierungen und schnelle Löser für Konvektions-Diffusionsprobleme. (C3): Robuste Unterraumkorrekturverfahren für elliptische Probleme mit stark oszillierenden Koeffizienten. Das primäre Ziel der durchgeführten Forschungsarbeit war es, einen wesentlichen Beitrag zur Erweiterung der Theorie und Anwendbarkeit von Unterraumkorrekturverfahren auf die oben genannten Problemklassen zu leisten. Den Ausgangspunkt dazu bildeten die Verwendung und das Zusammenspiel von problemangepassten Finite-Elemente-Methoden (stabilen Diskretisierungen) mit effizienten Vorkonditionierungs- bzw. Lösungsverfahren für die zugehörigen diskreten Probleme. In diesem Zusammenhang bieten sich nichtkonforme und unstetige Galerkinverfahren (DG-Verfahren) als adäquate Diskretisierungstechniken an. Die Hauptresultate im Bereich der Komponente (C1) waren die Konstruktion robuster Vorkonditionierungsmethoden für Elastizitätsprobleme, diskretisiert durch DG-Verfahren, sowie die Entwicklung einer vollständigen Theorie optimaler Mehrgitterverfahren für Stokes und Brinkman Gleichungenebenfalls für DG-Diskretisierungen. Betreffend der Projekt- komponente (C2) gelang es, neue a priori Fehlerabschätzungen für eine stabile monotone Diskretisierung zu zeigen. Letztere bietet sich auch als Ausgangspunkt für die Konstruktion schneller Löser an. In Hinblick auf die Komponente (C3) wurde basierend auf der Idee der Hiflsraumkorrektur ein neuartiges Mehrgitterverfahren entwickelt, das sich vor allem durch hohe Robustheit, etwa im Fall stark oszillierender Koeffizienten der PDG auszeichnet.
- Svetozar Margenov, Bulgarian Academy of Sciences - Bulgarien
- Blanca Ayuso, Technische Universität Hamburg - Deutschland
- Peter Arbenz, Eidgenössische Technische Hochschule Zürich - Schweiz
- Panayot Vassilevski, Lawrence Livermore National Laboratory - Vereinigte Staaten von Amerika
- Ludmil Zikatanov, The Pennsylvania State University - Vereinigte Staaten von Amerika
Research Output
- 147 Zitationen
- 17 Publikationen
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2017
Titel Multigrid methods for convection–diffusion problems discretized by a monotone scheme DOI 10.1016/j.cma.2017.01.004 Typ Journal Article Autor Bayramov N Journal Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering Seiten 723-745 -
2018
Titel Incomplete factorization by local exact factorization (ILUE) DOI 10.1016/j.matcom.2017.10.007 Typ Journal Article Autor Kraus J Journal Mathematics and Computers in Simulation Seiten 50-61 -
2016
Titel Uniformly Stable Discontinuous Galerkin Discretization and Robust Iterative Solution Methods for the Brinkman Problem DOI 10.1137/14099810x Typ Journal Article Autor Hong Q Journal SIAM Journal on Numerical Analysis Seiten 2750-2774 -
2015
Titel On the stable solution of transient convection–diffusion equations DOI 10.1016/j.cam.2014.12.001 Typ Journal Article Autor Bayramov N Journal Journal of Computational and Applied Mathematics Seiten 275-293 Link Publikation -
2012
Titel Additive Schur Complement Approximation and Application to Multilevel Preconditioning DOI 10.1137/110845082 Typ Journal Article Autor Kraus J Journal SIAM Journal on Scientific Computing Link Publikation -
2012
Titel Polynomial of Best Uniform Approximation to 1/x and Smoothing in Two-level Methods DOI 10.2478/cmam-2012-0026 Typ Journal Article Autor Kraus J Journal Computational Methods in Applied Mathematics Seiten 448-468 Link Publikation -
2013
Titel Algebraic Multilevel Preconditioners for the Graph Laplacian Based on Matching in Graphs DOI 10.1137/120876083 Typ Journal Article Autor Brannick J Journal SIAM Journal on Numerical Analysis Seiten 1805-1827 Link Publikation -
2013
Titel A subspace correction method for discontinuous Galerkin discretizations of linear elasticity equations DOI 10.1051/m2an/2013070 Typ Journal Article Autor De Dios B Journal ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis Seiten 1315-1333 Link Publikation -
0
Titel Preconditioning of weighted H(div)-norm and applications to numerical simulation of highly heterogeneous media. Typ Other Autor Kraus J -
2015
Titel A robust multigrid method for discontinuous Galerkin discretizations of Stokes and linear elasticity equations DOI 10.1007/s00211-015-0712-y Typ Journal Article Autor Hong Q Journal Numerische Mathematik Seiten 23-49 Link Publikation -
2011
Titel Preconditioning of elasticity problems with discontinuous material properties. Typ Book Chapter Autor Georgiev I -
2011
Titel Algebraic multilevel iteration method for lowest order Raviart–Thomas space and applications DOI 10.1002/nme.3103 Typ Journal Article Autor Kraus J Journal International Journal for Numerical Methods in Engineering Seiten 1175-1196 -
2012
Titel Multilevel preconditioning of graph-Laplacians: Polynomial approximation of the pivot blocks inverses DOI 10.1016/j.matcom.2012.06.009 Typ Journal Article Autor Boyanova P Journal Mathematics and Computers in Simulation Seiten 1964-1971 -
2012
Titel Preconditioning of Elasticity Problems with Discontinuous Material Parameters DOI 10.1007/978-3-642-33134-3_80 Typ Book Chapter Autor Georgiev I Verlag Springer Nature Seiten 761-769 -
2013
Titel Robust multilevel methods for quadratic finite element anisotropic elliptic problems DOI 10.1002/nla.1876 Typ Journal Article Autor Kraus J Journal Numerical Linear Algebra with Applications Seiten 375-398 Link Publikation -
2013
Titel Robust Algebraic Multilevel Preconditioners for Anisotropic Problems DOI 10.1007/978-1-4614-7172-1_12 Typ Book Chapter Autor Kraus J Verlag Springer Nature Seiten 217-245 -
2014
Titel Auxiliary space multigrid method based on additive Schur complement approximation DOI 10.1002/nla.1959 Typ Journal Article Autor Kraus J Journal Numerical Linear Algebra with Applications Seiten 965-986 Link Publikation