Unterraumkorrekturverfahen für indefinite Probleme

In diesem Projekt geht es um die Entwicklung und Erforschung neuer Unterraumkorrektur- verfahren (SC- Verfahren) zur numerischen Lösung von gekoppelten Systemen von partiellen Differentialgleichungen (PDE). Der Schwerpunkt liegt dabei auf Problemen die zu indefiniten beziehungsweise zu nahezu singulären symmetrisch positiv definiten Systemen führen. Unser Zugang ist ein ganzheitlicher in dem es zum Einsatz von speziellen problemangepassten Diskretisierungsverfahren kommt, die etwa gewisse Erhaltungssätze erfüllen, und die mit adaptiven Lösungsverfahren kombiniert werden. Auf diese Art lassen sich Methoden konstruieren, welche optimal sind im Hinblick auf (i) Approximationsgüte (ii) Rechenzeit (iii) Skalierbarkeit Das gegenständliche Projekt besteht aus den folgenden drei miteinander verknüpften Komponenten (C1)--(C3) mit Zielrichtung auf Systeme mit stark oszillierenden Koeffizienten: (C1): SC-Verfahren für Elastizitätsprobleme im Falle nahezu inkompressibler Stoffe und Stokes Gleichungen (C2): SC-Verfahren zur Minimierung diskreter Funktionale im Bereich der Datenwiederherstellung nach dem Prinzip der totalen Variation (C3): Auxiliary Space und SC-Verfahren für elliptische Probleme mit stark oszillierenden Koeffizienten Das primäre Ziele der vorgeschlagenen Forschungsarbeit ist es dazu beizutragen die Theorie und Anwendbarkeit von SC-Verfahren auf die oben genannten Problemklassen auszudehnen. Den Ausgangspunkt dazu bilden die Verwendung und das Zusammenspiel von problemangepassten Finite-Elemente-Methoden (FEM) (von passender Approximationsgüte) mit effizienten Vorkonditionierungs- bzw. Lösungsverfahren für die zugehörigen diskreten Probleme. In diesem Zusammenhang bieten sich oft nichtkonforme und unstetige Galerkinverfahren (DG-Verfahren) als adequate Diskretisierungstechniken an. Einige ihrer besonders günstigen Eigenschaften sind a) die relativ einfache Erweiterbarkeit auf Verfahren höherer Fehlerordnung b) ihre Eignung zur Behandlung komplexer Geometrien auch in Kombination mit unstrukturierten und hybriden Netzen/Gittern c) die Verwendbarkeit allgemeiner Elementtypen (auch nichtkonformer Elemente und nichtkonformer Netze/Gitter) d) die Verwendbarkeit einfacher Anpassungsstrategien e) Vorteile in Hinblick auf Parallelisierung Der wohl größte Nachteil von DG-Verfahren ist es, dass die resultierenden linearen Gleichungssysteme wesentlich größer sind (im Vergleich zu konformen Methoden gleicher Approximationsordnung) was deren Lösung erschwert und im Allgemeinen Computer- simulationen, selbst bei Verwendung der besten verfügbaren Algorithmen, erheblich verlangsamt und zum Teil sogar unzulänglich macht. Unsere Hauptaugenmerk liegt daher auf der Entwicklung neuer, effizienterer und robusterer Lösungsmethoden welche größere Problemklassen abdecken (siehe (C1)--(C3)). Letztendlich geht es uns auch um die Anpassung dieser Lösungsverfahren an industrielle Anwendungen, etwa im Bereich Reservoir-Engineering, oder an medizinische Anwendungen, wie etwa bei der Bestimmung der biomechanischen Eigenschaften von Knochensubstanz oder der Bildrekonstruktion aus tomographischen Daten. Eine besondere Herausforderung stellen gekoppelten Problemen für heterogene Materialien dar welche üblicherweise (verstärkt durch Koeffizientensprünge) zu exterm schlecht konditionierten Gleichungssystemen führen.

In diesem Projekt ging es um die Entwicklung und Erforschung neuer Unterraumkorrektur- verfahren zur numerischen Lösung von gekoppelten Systemen partieller Differential- gleichungen (PDG) wie sie in industrielle Anwendungen, etwa im Bereich der Lagerstätten- simulation, oder in medizinische Anwendungen, etwa im Bereich der Biomechanik oder der Steuerung von Strömungsprozessen, auftreten. Eine besondere Herausforderung stellen dabei Modelle von nahezu inkompressiblen und stark heterogene Materialien bzw. Medien dar, welche üblicherweise (verstärkt durch Sprünge in den Koeffizienten der PDG) zu extrem schlecht konditionierten linearen algebraische Gleichungssystemen führen. Das gegenständliche Projekt bestand aus den folgenden drei Komponenten (C1)(C3): (C1): Stabile Diskretisierungen und optimale iterative Lösungsverfahren für Elastizitäts- probleme im Falle nahezu inkompressibler Materialien und für Stokes Probleme. (C2): Stabile Diskretisierungen und schnelle Löser für Konvektions-Diffusionsprobleme. (C3): Robuste Unterraumkorrekturverfahren für elliptische Probleme mit stark oszillierenden Koeffizienten. Das primäre Ziel der durchgeführten Forschungsarbeit war es, einen wesentlichen Beitrag zur Erweiterung der Theorie und Anwendbarkeit von Unterraumkorrekturverfahren auf die oben genannten Problemklassen zu leisten. Den Ausgangspunkt dazu bildeten die Verwendung und das Zusammenspiel von problemangepassten Finite-Elemente-Methoden (stabilen Diskretisierungen) mit effizienten Vorkonditionierungs- bzw. Lösungsverfahren für die zugehörigen diskreten Probleme. In diesem Zusammenhang bieten sich nichtkonforme und unstetige Galerkinverfahren (DG-Verfahren) als adäquate Diskretisierungstechniken an. Die Hauptresultate im Bereich der Komponente (C1) waren die Konstruktion robuster Vorkonditionierungsmethoden für Elastizitätsprobleme, diskretisiert durch DG-Verfahren, sowie die Entwicklung einer vollständigen Theorie optimaler Mehrgitterverfahren für Stokes und Brinkman Gleichungenebenfalls für DG-Diskretisierungen. Betreffend der Projekt- komponente (C2) gelang es, neue a priori Fehlerabschätzungen für eine stabile monotone Diskretisierung zu zeigen. Letztere bietet sich auch als Ausgangspunkt für die Konstruktion schneller Löser an. In Hinblick auf die Komponente (C3) wurde basierend auf der Idee der Hiflsraumkorrektur ein neuartiges Mehrgitterverfahren entwickelt, das sich vor allem durch hohe Robustheit, etwa im Fall stark oszillierender Koeffizienten der PDG auszeichnet.