Mengenlehre: Forcing, projektive Mengen und Moraste

Die mathematische Logik erreichte die Moderne mit der Arbeit von Kurt Gödel an der Universität Wien, wo er in den dreißiger Jahren des 19. Jahrhunderts seine berühmten Sätze zur Vollständigkeit und Unvollständigkeit der Logik erster Stufe bewies. Dieses Projekt, welches an meinem Institut (Diskrete Mathematik und Geometrie, TU Wien) in Kooperation mit Sy Friedmans Gödel Center an der Universität Wien stattfinden soll, beschäftigt sich mit Mengenlehre, welche auch ein Hauptthema für Gödels spätere Arbeiten war. Dieses Projekt wird sich mit den folgenden Themen der Mengenlehre beschäftigen: Oracle-cc Forcing, projektive Regulärität, Moraste und Axiom A Forcing

Die mathematische Logik erreichte die Moderne mit der Arbeit von Kurt Gödel an der Universität Wien, wo er in den dreißiger Jahren des 19. Jahrhunderts seine berühmten Sätze zur Vollständigkeit und Unvollständigkeit der Logik erster Stufe bewies. In diesem Projekt (an der TU Wien und and der Universität Wien) haben wir uns mit Mengenlehre beschäftigt, ein Gebiet das auch Gödel in seinen späteren Jahren besonders interessiert hat. Wir haben uns insbesondere mit Teilmengen der reellen Zahlengeraden beschäftigt. Die Mengenlehre begann mit Georg Cantors Entdeckung, dass viele verschiedene Unendlichkeiten gibt; die kleinste ist die Unendlichkeit der abzählbaren Mengen, und Cantor zeigte, dass die Unendlichkeit der reellen größer als diese ist. Die reelle Zahlengerade (die Menge aller reellen Zahlen, rationale und irrationale) war schon lange ein wichtiges Werkzeug in der Mathematik, aber auch Gegenstand grundlagentheoretischer Untersuchungen. Erst mit dem Beginn der Mengenlehre erkannte man, dass viele grundlegende Eigenschaften der Zahlengerade (etwa: ist jede definierbare Menge Lebesgue-messbar?) mit den üblichen Axiomen der Mathematik nicht entschieden werden können. Ein Hauptresultat unseres Projekts beschäftigt sich mit den Begriffen von starken Nullmengen und stark mageren Mengen. Beide Begriffe beziehen sich auf sehr kleine Mengen von reellen Zahlen. Es war ein offenes Problem, ob alle diese kleinen Mengen abzählbar sein können. In einer gemeinsamen Arbeit mit Kellner, Shelah und Wohofsky haben ein mengentheoretisches Universum konstruiert, in dem dieser Fall tatsächlich eintritt.