Adaptive Randelementmethode

Die mathematisch-fundierte Fehlerschätzung ist von zentraler Bedeutung in numerischen Simulationen, um zuverlässige und effiziente Ergebnisse zu erhalten: Einerseits liefert sie dem Anwender Information, ob das berechnete Simulationsergebnis hinreichend genau ist. Andererseits kann die Diskretisierung verbessert werden, indem man beispielsweise das zugrunde liegende Netz verfeinert, wenn das Simulationsergebnis nicht in der benötigten Genauigkeit vorliegt. Beide Aspekte werden mathematisch durch sogenannte a posteriori Fehlerabschätzungen abgedeckt, deren Beiträge dann zur Steuerung adaptiver Netzverfeinerungsstrategien dienen. Im Kontext der Finite Element Methode (FEM) sind in der wissenschaftlichen Literatur zahlreiche Fehlerschätzer vorgeschlagen und analysiert worden, und sowohl Konvergenz als auch Optimalität adaptiver Algorithmen konnte in den jüngsten Jahren mathematisch bewiesen werden. Dies steht in starkem Kontrast zur Randelementmethode (BEM, engl. boundary element method), für die bisher vergleichsweise wenige Fehlerschätzer in der mathematischen Literatur vorgeschlagen worden sind, und diese erweisen sich in der Praxis als zugleich rechenintensiv und schwer zu implementieren. Obwohl adaptive Algorithmen auch in der BEM erfolgreich eingesetzt werden, fehlt es bislang am mathematischen Verständnis. Insbesondere ist die zentrale Frage nach der Konvergenz adaptiver Algorithmen im Rahmen der BEM offen. Im Rahmen des Projektes sollen daher drei Aspekte adaptiver BEM behandelt werden: Erstens sind die in der Literatur vorgeschlagenen adaptive Strategien numerisch und analytisch zu vergleichen. Zweitens sind für die BEM a posteriori Fehlerschätzer zu entwickeln, die mit niedrigem Aufwand numerisch zu berechnen sind. Drittens ist die Konvergenz und Optimalität der zugehörigen adaptiven Algorithmen mathematisch zu analysieren.

Die mathematisch-fundierte Fehlerschätzung ist von zentraler Bedeutung in numerischen Simulationen, um zuverlässige und efziente Ergebnisse zu erhalten: Einerseits liefert sie dem Anwender Information, ob das berechnete Simulationsergebnis hinreichend genau ist. Andererseits kann die Diskretisierung verbessert werden, indem man beispielsweise das zugrunde liegende Netz verfeinert, wenn das Simulationsergebnis nicht in der benötigten Genauigkeit vorliegt. Beide Aspekte werden mathematisch durch sogenannte a posteriori Fehlerabschätzungen abgedeckt, deren Beiträge dann zur Steuerung adaptiver Netzverfeinerungsstrategien dienen. Im Kontext der Finite Element Methode (FEM) sind in der wissenschaftlichen Literatur zahlreiche Fehlerschätzer vorgeschlagen und analysiert worden, und sowohl Konvergenz als auch Optimalität adaptiver Algorithmen konnte in den jüngsten Jahren mathematisch bewiesen werden. Im geförderten Projekt wurden a posteriori Fehlerabschätzungen und optimale Netzverfeinerungsalgorithmen für Integralgleichungen entwickelt und mathematisch analysiert.