Algebraische Mehrgitter-Methoden für Vektorfeldprobleme

Dieses Projekt befasst sich mit algebraischen Mehrgitter (AMG) Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme, die von der Diskretisierung von (Systemen von) partiellen Differentialgleichungen (mittels finiter Elemente) herrühren. Insbesondere behandeln wir elliptische Operatoren welche viele Eigenvektoren (Eigenfunktionen) zu betragsmäßig sehr kleinen Eigenwerten besitzen. Der Übergang zu hyperbolischen Problemen mit komplexen Charakteristiken wird als Grenzfall zu betrachten sein. Generell geht es in dieser Arbeit um den Entwurf, die mathematische Analyse und die Codierung neuer AMG sowie algebraischer Multilevel (AML) Vorkonditionierer, die einer raschen Lösung direkter (Vektor-) Feldprobleme dienen. Der Schwerpunkt liegt dabei auf den Maxwell`schen Feldgleichungen der Elektrodynamik, diffizilen Problemen aus der Struktur- und Kontinuumsmechanik, insbesondere auch der Strömungsmechanik. Die vorgeschlagene Forschungsarbeit beinhaltet folgende Punkte: 1. Erforschung so genannter element-basierter AMG und AML Methoden unter besonderer Berücksichtigung von nicht-konformen Elementen sowie von Discontinuous Galerkin (DG) Diskretisierungen. 2. Entwicklung element-, flächen- und kanten-basierter Strategien zur Generierung adäquater Grobgitterprobleme. 3. AMG für unsymmetrische und indefinite Matrizen: Anwendung auf (skalare) Konvektions- Diffusions-, Stokes-, sowie Oseen-Gleichungen. 4. AMG für Nicht-M-Matrizen: Anwendung auf Maxwell-Gleichungen und Elastizitäts-probleme. 5. Codierung von Algorithmen: Entwicklung eines "Gleichungslöser-Pakets" in C/C++. Der Zweck des gegenständlichen Projekts ist die Erschließung neuer AMG- und AML-Methoden für allgemeine(re) symmetrisch positiv definite sowie unsymmetrische und/oder indefinite Probleme. Damit soll auch ein wesentlicher Beitrag zur Schließung der Lücke im Bereich der Nicht-M-Matrizen geleistet werden. Die Entwicklung eines Pakets leistungsstarker Gleichungslöser, die in (andere) Simulationssoftware integriert werden können, rundet dieses Projekt ab.

Die Hauptziele des FWF-Projekts Nr. P19170-N18 "Algebraische Mehrgitter-Methoden für Vektorfeldprobleme" waren die Vebesserung existierender und der Entwurf und die Analyse neuer Algebraischer Mehrgitter (AMG) Methoden zur Vorkonditionierung großer, dünnbesetzter Gleichungssysteme, welche von Finite-Elemente- Diskretisierungen partieller Differentialgleichungen herrühren. Der Schwerpunkt lag dabei auf Problemen aus der Struktur- und Festkörpermechanik. Oft verursachen problemspezifische Parameter, dass die hier auftretenden diskreten Probleme extrem schlecht konditioniert sind. Als Konsequenz benötigt man sehr effiziente und robuste Vorkonditionierer, um die exakte Lösung des Problems bei akzeptablem Rechenaufwand ausreichend genau approximieren zu können. Dies ist eine wichtige Aufgabe in der Entwicklung moderner Simulationssoftware.Im Folgenden fassen wir die wichtigsten Ergebnisse dieser Forschungsarbeit zusammen: Der Doktorand, Erwin Karer, dessen Anstellung während der gesamten Projektlaufzeit aus FWF-Mittel finanziert wurde, arbeitete hauptsächlich an Vorkonditionierern für lineare Elastizitätsprobleme. In der ersten Hälfte des Projekts verbesserten und analysierten Herr Karer und der Projektleiter (PI) ein Verfahren zur Konstruktion der Hauptkomponenten in einem AMG Verfahren unter Ausnützung von sogenannten Kantenmatrizen (vom Rang eins). Basierend auf diesem Konzept konnte ein effizienter Vorkonditionierer-auch für ansisotrope Probleme-entwickelt werden. Die Ergebnisse wurden in dem Artikel "Algebraic multigrid for finite element elasticity equations: Determination of nodal dependence via edge matrices and two-level convergence" im Int. J. Numer. Meth. Engng. (83(2010), pp. 642-670) publiziert. Während der zweiten Hälfte des Projekts arbeiteten Herr Karer, der PI und Prof. L. Zikatanov (Kooperationspartner von der Penn State University, USA) an Elastizitätsproblemen zur Beschreibung der Deformation von nahezu inkompressiblen Festkörpern. Eine Schwierigkeit liegt hier darin, die Stabilität und optimale Approximationseigenschaften der Finite-Elemente-Lösung zu garantieren. Um sogenannte "Locking"-Effekte zu vermeiden, welche bei Verwendung von Standard-Diskretisierungen beobachtet werden müssen, haben wir eine nicht-konforme Methode als Ausgangspunkt gewählt. Zunächst konstruierten wir eine geeignete Zerlegung des entsprechenden Finite-Elemente-Raums. Dann formulierten (und analysierten) wir ein Unterraumkorrekturverfahren welches einen gleichförmigen und robusten (bezüglich der Poisson-Zahl) Vorkonditionierer für diese Problemklasse liefert. Ein optimales Verfahren zur Lösung eines dabei auftretenden Teilproblems publizierte der PI (zusammen mit S. Tomar) in dem Artikel "Algebraic multilevel iteration method for lowest-order Raviart-Thomas space and applications" im Int. J. Numer. Meth. Engng. (accepted). Weitere projektrelevante Publikationen des Projektleiters, wie etwa eine Monographie zum Thema "Robust Algebraic Multilevel Methods and Algorithms", erschienen in Walter de Gruyter (2009), sind im Abschnitt "Attachments" aufgelistet.