Reine Mengentheorie: Innere Modelle, Forcing und Absolutheit

Die mathematische Logik hat mit der Arbeit von Kurt Gödel die Moderne erreicht. Dieses Projekt ist Teil der andauernden Rückbesinnung auf die Tradition Gödels an der Universität Wien, wo Gödel seine berühmten Sätze zur Vollständigkeit und Unvollständigkeit in den 30er Jahren des 20. Jahrhunderts bewiesen hat. Unser Gebiet ist die Mengentheorie, das Gebiet der Logik, das Gödel in seinen späten Jahren am meisten interessiert hat. Mengentheorie teilt sich heute in zwei miteinander verbundene Aspekte: reine und angewandte Mengentheorie. Erstere beschäftigt sich mit der Analyse des Unendlichen, die zu einer Vorstellung des Mengenuniversums als Ganzes führt, während letztere unter Benutzung der Fortschritte der reinen Mengentheorie mathematische Probleme löst oder sie als unlösbar im Rahmen der traditionellen mengentheoretischen Axiome identifiziert. Dieses Projekt ist im Bereich der reinen Mengentheorie angesiedelt und wird die folgenden Bereiche untersuchen: Konstruktibilität, iteriertes Forcing, Klassenforcing, innere Modelle und Absolutheitsprinzipien. Im Bereich der Konstruktibilität werden wird einige neue kombinatorische Prinzipien, die in Gödels Modell gelten, diskutieren und die Hyperfeinstrukturtheorie weiterentwickeln. Beim iterierten Forcing werden wir durch Moraste indizierte Iterationen betrachten und versuchen, bis jetzt nur für Mengenforcing bekannte Erhaltungseigenschaften auf iterierte Klassenforcings zu verallgemeinern. Im Bereich Klassenforcing werden wir eine Version von Solovays Dichotomie, ein Forcing, das beweisbar ein eindeutiges generisches Objekt besitzt, suchen und die generische Sättigung weiter erforschen. Für die innere Modelltheorie werden wir neue Extendermodell-Konstruktionen, die neue Kodierungsmethode in Gegenwart einer Woodin-Kardinalzahl und Verknüpfungen mit der Theorie projektiver Mengen betrachten. Und schließlich werden wir im Bereich der Theorie der Absolutheit die eingeschränkte Version des Axioms "Martins Maximum" studieren und ein Absolutheitsprinzip für die Theorie des Klassenforcings entwickeln.

Mathematische Logik wurde ein profundes Forschungsgebiet nach der bahnbrechenden Arbeit Gödels an der Universität Wien in den dreißiger Jahren. Eines der aktivsten Themen der Mathematischen Logik ist die Mengenlehre, die nicht nur eine umfassende mathematische Theorie ist, sondern auch eine zufriedenstellende Grundlage für die Mathematik liefert. Gödels Unvollständigkeitssatz hat die bemerkenswerte Folge, dass die Mengenlehre - und deshalb die gesamte Mathematik - vielfache Interpretationen zuläßt. Ziel dieses Projekts in der reinen Mengenlehre war, diese verschiedenen Interpretationen der Mengenlehre durch die Methoden von Großekardinalzahlaxiome und deren inneren Modelle, die Forcingmethode und die Absolutheitsprinzipien zu analysieren. Einige der wichtigsten Ergebnisse dieses Projekts war folgende. 1. Ein Gap 1 Morass in L kann mittels der Friedman - Koepke Hyperfeinstrukturtheorie konstruiert werden. (Friedman - Koepke - Piwinger) 2. BPFA ist mit einer delta-1-3 Wohlordnung der reelen Zahlen konsistent. (Caicedo -Friedman) 3. Es ist konsistent, dass die Übergrenzezahl größer als Aleph-1 aber kleiner als die Gruppedichtheitzahl ist. (Mildenberger - Shelah) 4. Relativ zu einer Hyperstrongkardinalzahl ist die Scheiterung von Maß-1 Bedeckung relativ zu HOD konsistent. (Dobrinen - Friedman) 5. Unendliche Mengen, deren Potenzmengen Dedekind-endlich sind, können nur Aleph-0-kategorische Strukturen tragen. (Walczak-Typke) Gegeben die Existenz von 0-sharp gibt es ein inneres Modell, das die GCH für keine reguläre Kardinalzahl erfüllt. (Friedman - Ondrejovic) 6. Es gibt klass-generische, aber nicht menge-generische reele Zahlen, die Woodin Kardinalzahlen erhalten. (Friedman) 7. L-ähnliche Prinzipien können mit Erhaltung von sehr starken Großekardinalzahleigenschaften geforct werden. (Friedman)