Werteverteilung von Zeta- und L-Funktionen

Die Untersuchung der Riemannschen Zeta-Funktion ist ohne Zweifel eines der wichtigsten Themen im Bereich der analytischen Zahlentheorie. Diese Funktion war bereits vom Schweizer Mathematiker Leonhard Euler untersucht wurden, der damit einen neuen Beweis von Euklids berühmten Satz über die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen gab. Die Primzahlen sind jene natürlichen Zahlen die nur durch sich selbst bzw. durch eins geteilt werden können, und diese Eigenschaft führt zu vielen praktischen Anwendungen, beispielsweise in der Kryptographie. Die Frage wie die Primzahlen innerhalb der natürlichen Zahlen verteilt sind war daher von jeher ein zentrales Thema mathematischer Forschung. Der deutsche Mathematiker Bernhard Riemann hat die Ergebnisse von Leonhard Euler erheblich verbessert, und gezeigt dass es einen unmittelbaren Zusammenhang zwischen den Werten der Zeta-Funktion und der Verteilung der Primzahlen gibt. Aufgrund dieser Beobachtung wurden die Zeta-Funktion und ihre Besonderheiten intensiv untersucht. In diesem Projekt sollen zwei bestimmte Aspekte der Zeta-Funktion besonders untersucht werden, ebenso wie die Frage ob sich vergleichbare Resultate auch für andere (der Zeta - Funktion verwandte) Funktionen erzielen lassen. Zunächst untersuchen wir die Universalität der Zeta-Funktion, die man sich folgendermaßen vorstellen kann: wenn sich der (dreidimensionale) Graph des Betrags einer Funktion in einer komplexen Variablen wie die Dünen an einer sandigen Küste erstreckt, dann kann jede Düne von beliebiger Form früher oder später im Graph der Zeta- Funktion gefunden werden. Das bedeutet einfach dass die Zeta-Funktion jede andere Funktion früher oder später gut approximieren kann (daher das Wort Universalität). Wir werden untersuchen wie schnell und wie oft dieses Phänomen auftritt. Insbesondere wollen wir zeigen dass sich diese Approximation auch innerhalb einer diskreten Menge von Zeitpunkten erzielen lässt. Es ist außerdem bekannt dass es in jedem stetigen Zeitfenster im Graph der Zeta-Funktion Sanddünen von immer mehr zunehmender Größe gibt. In mathematischer Sprache handelt es sich dabei um extremale Werte der Zeta-Funktion, und im zweiten Teil des Projekts wollen wir solche extremalen Werte für diskrete Zeitpunkte untersuchen. Alle diese Themen werden wir auch für eine breitere Klasse von Zeta- und L-Funktionen untersuchen, welche, in Analogie mit der Riemannschen Zeta- Funktion, Aussagen über Mengen von zahlentheoretischem Interesse zulassen.

Das Hauptziel dieses Projekts war die Untersuchung verschiedener Aspekte der Werteverteilung der Riemannschen Zeta-Funktion. Das Verständnis des Verhaltens dieser komplexwertigen Funktion kann uns einen Einblick in die Verteilung der Primzahlen geben. In gewissem Sinne gibt es eine gewisse Dualität zwischen ihren Verteilungen. Man kann sagen, dass die Primzahlen fast zufällig unter den ganzen Zahlen verteilt sind. Dasselbe gilt für den Graphen der Zeta-Funktion entlang der senkrechten Linien der komplexen Ebene. Wir haben zum Beispiel gezeigt, dass jede glatte ebene Kurve durch den Graphen der Zeta-Funktion entlang nur einer dieser Linien angenähert werden kann. Dies motivierte uns, die Krümmung dieser Graphen zu untersuchen und zu fragen, wie oft sie sich einem festen Punkt in der Ebene nähern. Solche Fragen stehen im Zusammenhang mit dem Universalitätssatz, der grob besagt, dass die Zeta-Funktion fast jede Zielfunktion approximieren kann und dass sich dieses Phänomen regelmäßig wiederholt. Eine natürliche Frage ist die nach der Häufigkeit dieser Ereignisse und der Geschwindigkeit, mit der sie auftreten können. Wir haben auch Ergebnisse über das extreme Verhalten der Zeta-Funktion entlang diskreter Mengen erhalten. Der Nachweis von oberen Schranken für das Wachstum der Zeta-Funktion entlang vertikaler Linien ist ein sehr schwieriges Problem (das letztlich natürlich mit der Primzahlverteilung zusammenhängt), und der Nachweis von unteren Schranken ist ein Hinweis darauf, wie weit wir von den vermuteten Schranken entfernt sind. Viele der oben genannten Ergebnisse wurden mit Hilfe von Werkzeugen aus der analytischen Zahlentheorie und der harmonischen Analysis erzielt. Mit den entwickelten Techniken konnten auch Probleme im Zusammenhang mit der Verteilung der sogenannten Dedekind-Summen und der Lückenverteilung von dilatierten Monomialfolgen angegangen werden. Dedekind-Summen wurden von Dedekind im Zusammenhang mit modularen Formen eingeführt und geben Auskunft über die Verteilung der partiellen Quotienten einer rationalen Zahl oder, äquivalent, über die Anzahl der Schritte des euklidischen Algorithmus für die Division zwischen zwei ganzen Zahlen. Wir haben gezeigt, dass es eine gewisse Verzerrung in der Verteilung dieser Summen gibt, was bedeutet, dass eine Variante des euklidischen Algorithmus für bestimmte Paare von ganzen Zahlen mehr Zeit benötigt. Die Untersuchung von Monomialfolgen steht unter anderem im Zusammenhang mit der so genannten Berry-Tabor-Vermutung, die einen Zusammenhang zwischen den Pseudozufälligkeitseigenschaften von Energieniveaus und der Dynamik von Quantensystemen vermutet. Eine Möglichkeit, die Verteilung ihrer Lücken zu verstehen, besteht darin, zu untersuchen, wie die Elemente einer solchen Folgen miteinander korreliert sind. Es gibt nur sehr wenige Beispiele, für die wir ein konkretes Verständnis dieser Korrelationen haben, aber in diesem Projekt konnten wir einen bemerkenswerten Schritt in diese Richtung machen.