Flächeninhaltserhaltende Willmoreflächen in Anfangsdaten

Welche Fläche ist die Rundeste? Auf den ersten Blick scheint diese Frage einfach zu sein: Natürlich handelt es sich um die Oberfläche einer Kugel. Komplizierter wird es aber schon, wenn wir besonders runde Flächen mit einem Loch suchen. In der Tat konnte dieses Problem erst vor etwa zehn Jahren gelöst werden. Die optimalen Flächen ähneln der Oberfläche eines aufgeblasenen Schwimmrings. Die Suche nach solch runden Flächen wird noch interessanter, wenn wir den uns wohlbekannten euklidischen Raum verlassen. Die Allgemeine Relativitätstheorie beschreibt unser Universum als vierdimensionale gekrümmte Raumzeit (eine überraschende Konsequenz dieser Krümmung ist die Tatsache, dass Zeit nicht überall gleich schnell vergeht). Die Raumzeit kann man vollständig verstehen, wenn man einen geeigneten dreidimensionalen räumlichen Schnitt zu einem festen Zeitpunkt kennt. Im Gegensatz zum euklidischen Raum sind solche Schnitte gekrümmt. Es stellt sich heraus, dass die besonders runden Flächen in einem solchen Schnitt wichtige Informationen über die Verteilung der Materie in unserer Raumzeit enthalten. Allerdings ist oft nicht bekannt, ob wir solche Flächen in einem gekrümmten Raum überhaupt finden, geschweige denn ihre Eigenschaften verstehen, können. Ziel meiner Forschung ist es, herauszufinden, wie viele dieser Flächen in den zuvor besprochenen dreidimensionalen Schnitten existieren und die Zusammenhänge zwischen der Geometrie dieser Flächen und den physikalischen Eigenschaften der Raumzeit besser zu verstehen.

Die allgemeine Relativitätstheorie beschreibt unser Universum als vierdimensionale, gekrümmte Raumzeit. Diese Raumzeit kann man vollständig verstehen, wenn man einen geeigneten dreidimensionalen räumlichen Schnitt zu einem festen Zeitpunkt kennt. Im Gegensatz zum euklidischen Raum sind solche Schnitte gekrümmt. Es stellt sich heraus, dass sogenannte flächeninhaltsbeschränkte Willmoreflächen, das sind besonders runde Flächen, wichtige Informationen über die Verteilung der Materie in in einem solchen Schnitt unserer Raumzeit enthalten. In diesem Projekt wurde gezeigt, dass ein großer Teil eines solchen Schnitts durch flächeninhaltsbeschränkte Willmoreflächen geblättert werden kann, welche im Wesentlichen eindeutig bestimmt sind. Zudem hat sich herausgestellt, dass die Positionierung dieser Flächen die Materieverteilung der Raumzeit sehr genau misst. Die in diesem Projekt entwickelten Techniken konnten zudem Anwendung in vielen anderen Problemen in der Geometrie und der mathematischen Relativitätstheorie finden.