Flächeninhaltserhaltende Willmoreflächen in Anfangsdaten
Area-constrained Willmore surfaces in initial data sets
Wissenschaftsdisziplinen
Mathematik (90%); Physik, Astronomie (10%)
Keywords
-
Willmore surfaces,
Asymptotically flat manifolds,
Quasi-local mass,
Fourth-order partial differential equation,
Geometric analysis
Welche Fläche ist die Rundeste? Auf den ersten Blick scheint diese Frage einfach zu sein: Natürlich handelt es sich um die Oberfläche einer Kugel. Komplizierter wird es aber schon, wenn wir besonders runde Flächen mit einem Loch suchen. In der Tat konnte dieses Problem erst vor etwa zehn Jahren gelöst werden. Die optimalen Flächen ähneln der Oberfläche eines aufgeblasenen Schwimmrings. Die Suche nach solch runden Flächen wird noch interessanter, wenn wir den uns wohlbekannten euklidischen Raum verlassen. Die Allgemeine Relativitätstheorie beschreibt unser Universum als vierdimensionale gekrümmte Raumzeit (eine überraschende Konsequenz dieser Krümmung ist die Tatsache, dass Zeit nicht überall gleich schnell vergeht). Die Raumzeit kann man vollständig verstehen, wenn man einen geeigneten dreidimensionalen räumlichen Schnitt zu einem festen Zeitpunkt kennt. Im Gegensatz zum euklidischen Raum sind solche Schnitte gekrümmt. Es stellt sich heraus, dass die besonders runden Flächen in einem solchen Schnitt wichtige Informationen über die Verteilung der Materie in unserer Raumzeit enthalten. Allerdings ist oft nicht bekannt, ob wir solche Flächen in einem gekrümmten Raum überhaupt finden, geschweige denn ihre Eigenschaften verstehen, können. Ziel meiner Forschung ist es, herauszufinden, wie viele dieser Flächen in den zuvor besprochenen dreidimensionalen Schnitten existieren und die Zusammenhänge zwischen der Geometrie dieser Flächen und den physikalischen Eigenschaften der Raumzeit besser zu verstehen.
Die allgemeine Relativitätstheorie beschreibt unser Universum als vierdimensionale, gekrümmte Raumzeit. Diese Raumzeit kann man vollständig verstehen, wenn man einen geeigneten dreidimensionalen räumlichen Schnitt zu einem festen Zeitpunkt kennt. Im Gegensatz zum euklidischen Raum sind solche Schnitte gekrümmt. Es stellt sich heraus, dass sogenannte flächeninhaltsbeschränkte Willmoreflächen, das sind besonders runde Flächen, wichtige Informationen über die Verteilung der Materie in in einem solchen Schnitt unserer Raumzeit enthalten. In diesem Projekt wurde gezeigt, dass ein großer Teil eines solchen Schnitts durch flächeninhaltsbeschränkte Willmoreflächen geblättert werden kann, welche im Wesentlichen eindeutig bestimmt sind. Zudem hat sich herausgestellt, dass die Positionierung dieser Flächen die Materieverteilung der Raumzeit sehr genau misst. Die in diesem Projekt entwickelten Techniken konnten zudem Anwendung in vielen anderen Problemen in der Geometrie und der mathematischen Relativitätstheorie finden.
- Universität Wien - 100%
- Metzger Jan, Universität Potsdam - Deutschland
- Schulze Felix, University of Warwick - Großbritannien
Research Output
- 6 Zitationen
- 14 Publikationen
- 1 Disseminationen
-
2024
Titel Huisken-Yau-type uniqueness for area-constrained Willmore spheres DOI 10.1215/00127094-2023-0045 Typ Journal Article Autor Eichmair M Journal Duke Mathematical Journal -
2024
Titel Inverse mean curvature flow and Ricci-pinched three-manifolds DOI 10.1515/crelle-2024-0040 Typ Journal Article Autor Huisken G Journal Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) Seiten 1-8 Link Publikation -
2022
Titel The Willmore Center of Mass of Initial Data Sets DOI 10.1007/s00220-022-04349-2 Typ Journal Article Autor Eichmair M Journal Communications in Mathematical Physics Seiten 483-516 Link Publikation -
2022
Titel Huisken-Yau-type uniqueness for area-constrained Willmore spheres Typ Journal Article Autor Michael Eichmair Journal arXiv preprint, to appear in Duke Mathematical Journal -
2022
Titel Huisken-Yau-type uniqueness for area-constrained Willmore spheres DOI 10.48550/arxiv.2204.04102 Typ Preprint Autor Eichmair M Link Publikation -
2022
Titel Foliations of asymptotically flat 3-manifolds by stable constant mean curvature spheres Typ Journal Article Autor Michael Eichmair Journal arXiv preprint, to appear in Journal of Differential Geometry -
2023
Titel Doubling of Asymptotically Flat Half-spaces and the Riemannian Penrose Inequality DOI 10.1007/s00220-023-04635-7 Typ Journal Article Autor Eichmair M Journal Communications in Mathematical Physics Seiten 1823-1860 Link Publikation -
2023
Titel Doubling of asymptotically flat half-spaces and the Riemannian Penrose inequality DOI 10.48550/arxiv.2302.00175 Typ Other Autor Eichmair M Link Publikation -
2023
Titel Schoen's conjecture for limits of isoperimetric surfaces DOI 10.48550/arxiv.2303.12200 Typ Preprint Autor Eichmair M Link Publikation -
2023
Titel Inverse mean curvature flow and Ricci-pinched three-manifolds DOI 10.48550/arxiv.2305.04702 Typ Preprint Autor Huisken G Link Publikation -
2023
Titel On the Minkowski inequality near the sphere DOI 10.48550/arxiv.2306.03848 Typ Preprint Autor Chodosh O Link Publikation -
2023
Titel Schoen's conjecture for limits of isoperimetric surfaces Typ Journal Article Autor Michael Eichmair Journal arXiv preprint -
2023
Titel Inverse mean curvature flow and Ricci-pinched three-manifolds Typ Journal Article Autor Gerhard Huisken Journal arXiv preprint, to appear in Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal) -
2023
Titel On the Minkowski inequality near the sphere Typ Journal Article Autor Otis Chodosh Journal arXiv preprint