Kompaktartige topologische Räume und Gruppen

Das Hauptziel dieses Projekts ist die Untersuchung von abzählbar kompakten Räumen und Gruppen im Kontext verschiedener Bereiche der Mathematik: Algebra, Topologie und Logik. Intuitiv gesagt sind abzählbar kompakte Räume mathematische Räume, in welchen es für jede unendliche Menge einen Punkt gibt, der ihr sehr nahe ist. Das Einheitsintervall in den reellen Zahlen ist Beispiel eines solchen Räumes. Abzählbar kompakte Räume haben einige schöne Eigenschaften und verhalten sich üblicherweise ähnlich zu endlichen Räumen. Insbesondere ist jede reellwertige Funktion auf abzählbar kompakten Räumen beschränkt, d.h. sie besitzt ein Minimum und ein Maximum. Eine Gruppe ist ein algebraisches Objekt, d.h. eine Menge, die mit einer Art von Multiplikation oder Addition ausgestattet ist. Zum Beispiel ist die reelle Zahlengerade bezüglich der üblichen Addition ein Beispiel für eine Gruppe. Die Hauptmotivation für das Studium dieser Objekte ist rein mathematischer Natur. Grob gesagt, können sie dazu beitragen, einige Objekte und Aktionen in der Geometrie und der Topologie besser zu verstehen. Wir werden uns für das Zusammenspiel der topologischen und algebraischen Eigenschaften dieser Objekte interessieren, d.h. wie die topologische Struktur die algebraische beeinflusst und umgekehrt. Diese Objekte haben nicht nur schöne Eigenschaften, sondern können auch äußerst delikat sein, und manchmal kann ihre Existenz von zusätzlichen Axiomen abhängen. Es klingt erstaunlich, aber die Existenz bestimmter abzählbar kompakter Gruppen kann in der gewöhnlichen Mathematik weder bewiesen noch widerlegt werden. Das ist der Punkt, bei dem die Logik relevant wird. Wir werden topologische, algebraische und logische Methoden verwenden und entwickeln. Dieser interdisziplinäre Ansatz scheint sehr innovativ zu sein, und deshalb glauben wir, dass unser Projekt es uns ermöglichen wird, unser Verständnis von abzählbaren kompakten Räumen und Gruppen zu vertiefen.

In diesem Projekt untersuchten wir kompaktartige topologische Räume und das Zusammenspiel zwischen algebraischen und topologischen Strukturen auf kompaktartigen topologischen Gruppen und Halbgruppen. Wir konstruierten einen kompakt-ähnlichen topologischen Raum, der nur konstante kontinuierliche Funktionen auf der reellen Linie besitzt. Dieses Ergebnis beantwortet einige Fragen von Tzannes. Wir verbesserten das vorangegangene Beispiel und konstruierten das erste bekannte konsistente Beispiel eines starren Nyikos-Raums. Außerdem untersuchten wir einige Teilmengen der reellen Zahlen mit speziellen topologischen und kombinatorischen Eigenschaften, die mit ihren offenen Hüllen zusammenhängen. Insbesondere haben wir ein altes Problem von Gerlits und Nagy gelöst. Dies ermöglichte uns die Konstruktion von Räumen mit kontinuierlichen Funktionen mit besonderen lokalen Eigenschaften. Wir charakterisierten kommutative Halbgruppen, die in umgebenden topologischen Halbgruppen bedingungslos geschlossen sind. Eine diskrete abzählbare Gruppe G ist dann und nur dann bedingungslos geschlossen in der Klasse der topologischen Halbgruppen, deren alle endlichen Teilmengen geschlossen sind, wenn G keine kompatible (mit ihrer algebraischen Operation) topologische Struktur besitzt. Wir haben eine algebraische Eigenschaft entdeckt, die für die unbedingte Geschlossenheit von abzählbaren aufhebbaren Halbgruppen verantwortlich ist. Diese Eigenschaft impliziert die automatische Kontinuität der Inversion in paratopologischen Gruppen. Außerdem beschreiben wir alle kompakten Topologien, die mit der Halbgruppenoperation in McAlister-Halbgruppen kompatibel sind. Es wird bewiesen, dass jede lokal kompakte Topologie, die mit der algebraischen Struktur von McAlister-Halbgruppen kompatibel ist und positiven ganzen Zahlen entspricht, entweder kompakt oder diskret ist. Dies gilt jedoch nicht für McAlister-Halbgruppen, die unendlichen Ordinalzahlen entsprechen. Schließlich erhielten wir eine kombinatorische Beschreibung endlicher Halbgruppen in Form ihrer Ketten und Antiketten. Die Methoden dieses Projekts waren mengentheoretischer Natur. Insbesondere hängen einige der in diesem Projekt konstruierten Gegenbeispiele von axiomatischen Annahmen ab. Dies verstärkt die Interdisziplinarität des Projekts.