Abbildungen endlicher Verzerrung für nichtlineare Mechanik

Das Projekt "Abbildungen endlicher Verzerrung für nichtlineare Mechanik" beschäftigt sich mit der mathemati- schen Analyse der Deformation von Festkörpern unter vorgegebenen Kräften im Zusammenhang mit Abbildun- gen endlicher Verzerrung. Das ist eine spezielle Klasse von Abbildungen, die eine günstige Alternative zu den normalerweise zur Beschreibung elastischer Verformungen verwendeten Abbildungen darstellen, da sie einen Großteil der zugrunde liegenden Physik direkt kodieren. Da das Projekt einen unkonventionellen Blick auf Elas- tizitätsprobleme fördert, wird es die Entwicklung der Kontinuumsmechanik auf eine neue Art und Weise begüns- tigen und zu einem tieferen Verständnis der geometrischen und analytischen Eigenschaften von Abbildungen mit endlicher Verzerrung führen. Die Ziele des Projekts umfassen die Identifizierung von Klassen nichtlinearer elas- tischer Materialien, die explizit endliche Verzerrungsformeln benötigen. Das vorgeschlagene Forschungsprojekt zielt auf eine Familie neuartiger Probleme ab, die an der Schnittstelle von geometrischer Analysis und Mechanik auftreten. Es wird daher notwendig sein, Techniken aus diesen Bereichen zu verwenden und zu kombinieren. Genauer gesagt, werden moderne und klassische Techniken sowie etablierte Ergebnisse aus der Analysis quasikonformer Abbildungen, aus der Variationsrechnung und aus der Theorie partieller Differentialgleichungen verwendet. Insbesondere werden die analytischen und geometrischen Eigenschaften von Abbildungen hauptsächlich mittels der Theorie der Abbildungen endlicher Verzerrung untersucht. Zunächst wird das Projekt von einem neuartigen Ansatz geleitet, den die Antragstellerin und Prof. Vodop`yanov kürzlich entwickelt haben. Die Methode basiert auf der Theorie der Abbildungen, die die Beschränktheit des Kompositionsoperators induzieren. Dieser Ansatz bietet eine neue operator-theoretische Perspektive in geometrischen und analytischen Fragestellungen. Der Hauptfokus wird auf analytischen und geometrischen Problemen liegen, die für die Modellierung verschiedener Materialien relevant sind, die eine gemischte Eulersche und Lagrange-Formulierung beinhalten, wie magnetoelastische Materialien und nematische Elastomere, und viel Aufmerksamkeit wird der physikalischen Interpretation von mathematischen Eigenschaften gewidmet werden.

Das Projekt "Abbildungen endlicher Verzerrung für nichtlineare Mechanik" beschäftigte sich mit der mathematischen Analyse der Deformation von Festkörpern unter vorgegebenen Kräften im Zusammenhang mit Abbildungen endlicher Verzerrung. Das ist eine speziell e Klasse von Abbildungen, die eine günstige Alternative zu den normalerweise zur Beschreibung elastischer Verformungen verwendeten Abbildungen darstellen, da sie einen Großteil der zugrunde liegenden Physik direkt kodieren. Da das Projekt einen unkonventio nellen Blick auf Elastizitätsprobleme förderte, begünstigte es die Entwicklung der Kontinuumsmechanik auf eine neue Art und Weise und führte zu einem tieferen Verständnis der geometrischen und analytischen Eigenschaften von Abbildungen mit endlicher Verzer rung. Die Hauptergebnisse des Projekts sind die Injektivitätseigenschaften von Limes von Sobolev-Homöomorphismen, ein mathematisches Modell geladener verformbarer Materialien und der Beweis der Existenz ihrer Gleichgewichte, die Regularität der Inversen einer Bilipschitz-Abbildung, die zu einem gegebenen Banach-Funktionsraum gehört, die Punktweise Charakterisierung von auf Banach- Gitter definierten Sobolev-Räumen und eine erweiterte Variationstheorie von Evolutionsgleichungen mittels modularer Räume.