Topologische Homogenität und unendliche Potenzen

This research project is in general topology, and it is related to set theory in the following ways. The same could be said of my research so far. In fact, this project is the natural continuation of it. -Use set-theoretic axioms (like Martin`s Axiom or Diamond) or assumptions on cardinal invariants to prove consistency or independence results about topological statements. -Study classical combinatorial objects on omega (like filters or independent families) from the topological point of view. -Make use/investigate topological properties of definable sets (Borel, analytic, coanalytic, and so on). The above points should make clear why the Kurt Gdel Research Center for Mathematical Logic would be an appropriate host for this project: I could take advantage of the expertise that my co-applicant Sy Friedman and many other members of the KGRC (or of the neighboring logic group at TU Wien) have on the above topics, through discussion and collaboration with them. The following are the main problems that we plan to work on. -Characterize the zero-dimensional separable metrizable spaces X whose infinite power (with the usual product topology) is countable dense homogeneous (this problem is due to Fitzpatrick and Zhou). -Show that the infinite power of X is h-homogeneous whenever X is a zero-dimensional first-countable space (this problem is due to Terada). -Determine the relationships between perfect set properties in separable metrizable spaces that are not necessarily Polish (this problem is due to the applicant). -Determine for which suitable pairs of cardinals (kappa,lambda) it is possible to construct in ZFC a subset of the Cantor set with the (kappa,lambda)-Grinzing property (this problem is due to the applicant). -Investigate the relations between perfect set-type properties for ultrafilters, such as Marczewski measurability and the perfect set property for (relatively) analytic subsets (this problem is inspired by an article of Miller). -Investigate the existence of completely Baire combinatorial objects on omega, especially independent families (this problem is due to Kunen, the applicant and Zdomskyy).

Im Artikel Non-meager free sets and independent families (gemeinsam mit D. Repovs und L. Zdomskyy) haben wir die Existenz einer unabhängigen Familie, die aus Teilmengen der natürlichen Zahlen besteht, gezeigt, welche in einem präzisen Sinne (im Sinne von Baire Kategorie) so groß wie möglich ist. Zu diesem Zweck haben wir ein allgemeines Resultat gezeigt, dass ein klassisches Resultat von Kuratowski komplementiert. Im Artikel On Borel semifilters habe ich gezeigt, dass jeder homogene definierbare Teilraum der Cantormenge (mit wenigen trivialen Ausnahmen) eine versteckte kombinatorische Struktur hat (genauer, er ist ein sogenannter Semifilter). Im Artikel Every filter is homeomorphic to its square (gemeinsam mit L. Zdomskyy) haben wir gezeigt, dass man aus der rein kombinatorischen Eigenschaft ein Filter zu sein, ableiten kann, dass vom topologischen Standpunkt aus, Quadrieren nichts verändert. Dies verallgemeinert ein Resultat von van Engelen und liefert dafür einen elementaren Beweis. Im Artikel Infinite powers and Cohen reals (gemeinsam mit J. van Mill und L. Zdomskyy) haben wir mit Hilfe der Forcingmethode einen Raum konstruiert, dessen unendliche Potenz, vom topologischen Standpunkt aus, so starr wie möglich ist. Dies zeigt, dass ein Resultat von Dow und Pearl optimal ist und einen Einblick in ein offenes Problem von Terada gibt.