Zusammenhänge zwischen Modelltheorie und Mengenehre

We propose a project in the field of mathematical logic which aims at the investigation of set theoretic aspects of model theoretic notions. The project will be based on previous research of ours and will be composed of two parts on which we plan to work simultaneously. The first part, continuing the topic of my PhD thesis, concerns the relationship between two different notions of complexity for classes of countable structures, namely depth of an -stable classifiable theory (according to Shelah), and the descriptive set theoretic notion of Borel-reducibility. In previous work, we have established a correspondence between depth 1 theories and "smooth" classes, we have found "cofinal" sequences of theories whose complexity simultaneously increases with respect to both notions, and we have found a surprising example of depth 2 which has a non-Borel isomorphism relation. Continuing in this line, we plan to investigate several questions that remain open, the most outstanding of which are the precise Borel reducibility-degree of our non- Borel example (in particular the question whether that degree is maximal), the establishment of a close correspondence between the two notions of complexity under extra-assumptions which exclude the complexity phenomenon of our non-Borel example and the question whether non-trivial essentially countable degrees exist in our context. The second topic concerns the question of how absolute (relative to ZFC) basic notions in the model theory of infinitary logic, specifically L1 ,, are. We focus on the notions of model existence (in a given cardinality) and categoricity. While we have shown that model existence is absolute in Aleph(1) and non-absolute in higher cardinalities (below Beth( 1 )), we plan on finding complete sentences with the same properties and enlarge the range our knowledge of set-theoretic properties that may have an influence on model existence. Also the case of Aleph() is still open, even for incomplete sentences. Concerning categoricity, we plan on working in the direction of showing absoluteness of Aleph(1)-categoricity. The main ingredient is to show that failure of amalgamation for countable models absolutely implies the existence of many models in Aleph(1). We will build on some recent technical advancements of ours in that matter, as well as on recent work of Shelah`s that shows absoluteness of Aleph(1)-categoricity under extra-assumptions. While we can show (using our non-absoluteness results of model-existence) that categoricity is non-absolute in cardinalities between Aleph(2) and Beth(1 ), we plan on working on our conjecture that categoricity should be absolute in cardinalities Beth(1 ) and above.

Die mathematische Logik befasst sich mit der formellen Grundlegung der Mathematik. Zentrale Fragen sind: wie kann die Mathematik auf ein formelles System fundiert werden, von dem alle mathematischen Wahrheiten ableitbar sind, und wie kann man sicherstellen, dass ein solches System widerspruchsfrei ist? Im Laufe des 20. Jahrhunderts wurden bedeutende Fortschritte gemacht. Zugleich haben sich immer mehr Teilgebiete der mathematischen Logik emanzipiert und eine Eigendynamik entwickelt. Unser Interesse gilt, verschiedene divergierende Teilgebiete wieder näher zusammenzurücken. Dabei konzentrieren uns auf die klassischen Teilgebiete Mengenlehre (die als Fundament der Mathematik dient: alle mathematischen Objekte können als Mengen konstruiert werden) und Modelltheorie (welche sich mit den abstrakten Begriffen des mathematischen Objekts und der Theorie befasst). Wir untersuchen insbesondere in welcher Weise modelltheoretische Eigenschaften von der Wahl von des Mengenuniversums (der Klasse aller Mengen, als Grundlage der Mathematik) abhängen können. Konkret befassten wir uns mit den Begriffen der Existenz von Modellen (einer Theorie) bestimmter Größe (Kardinalität) sowie der Anzahl von Modellen bestimmter Größe. Wir sind der seit Jahrzehnten offenstehenden prominenten Vaught`s Conjecture (VC) nachgegangen, die die Anzahl von abzählbaren Modellen betrifft. Diese Frage ist natürlich weiterhin offen, aber wir haben die Grundlage einer möglichen Strategie zu ihrer Beantwortung wesentlich aufgeklärt (das Resultat: wenn es ein Gegenbeispiel zu VC gibt, so auch eines, das keine Modelle größer als die erste überabzählbare Kardinalität hat), sowie einen neuen, eleganten Beweis von Harrington`s Theorem ausgearbeitet (welches eine Aussage über die Komplexität von Modellen eines Gegenbeispiels zu VC macht). In einer weiteren Arbeit haben wir eine abstrakte Methode ausgearbeitet, um Theorien zu konstruieren, die Modelle nur bis zu bestimmten, festgelegten Kardinalitäten haben. Ein Nebenresultat dieser Arbeit ist das Beschreiben bisher unbekannter Amalgamations Spektren (Möglichkeit von Fusion von Modellen bestimmter Kardinalität). Schließlich haben wir in einer dritten Arbeit ein neues Phänomen untersucht: die Existenz von maximalen (nicht erweiterbaren) Modellen. Wir zeigen, dass es möglich ist, maximale Modelle einer Theorie zu haben, obwohl größere Modelle derselben Theorie ebenfalls existieren. Solche Theorien waren bislang unbekannt.