Alternierende Vorzeichengebilde: Symmetrie & sym. Funktionen

Der Beweis einer Abzählformel für alternierende Vorzeichenmatrizen, gemeinhin als "alternating sign matrix conjecture" bekannt, stellte über ein Jahrzehnt lang ein herausforderndes offenes Problem dar. Der Durchbruch gelang 1996 unabhängig voneinander Zeilberger und Kuperberg. Inzwischen haben sich alternierende Vorzeichengebilde als klassische Strukturen innerhalb der Kombinatorik etabliert und sind nicht nur für ihre tiefgreifenden Verbindungen zu anderen mathematischen Gebieten bekannt, sondern auch für die schwer zu lösenden Fragestellungen, die sie umgeben. Eine bemerkenswerte Verbindung ist das Verhältnis zwischen alternierenden Vorzeichengebilden und der Theorie der symmetrischen Funktionen, welche im Zentrum der algebarischen Kombinatorik liegen. Wie die Kombinatorik der alternierenden Vorzeichengebilde mit symmetrischen Funktionen verbunden ist, ist noch lange nicht vollständig untersucht und hat bisher nur wenig Aufmerksamkeit erfahren, besonders in Bezug auf Symmetrieklassen von alternierenden Vorzeichenmatrizen. In diesem Projekt untersuchen wir sowohl alte als auch neue Probleme bezüglich Symmetrieklassen von alternierenden Vorzeichengebilden und deren Verbindung zur Theorie der symmetrischen Funktionen. Insbesondere widmen wir uns monotonen Dreiecke mit Pfeilen, einer neueren Verallgemeinerung alternierender Vorzeichenmatrizen von Ilse Fischer und Florian Schreier-Aigner. Ein Hauptziel besteht darin, diese neuartige Perpektive weiterzuentwickeln und sie auf bereits bestehende Ergebnisse, wie zum Beispiel auf Abzählresultate zu monotonen Dreiecken ohne Pfeile und auf Ergebnisse, die Symmetrieklassen alternierender Vorzeichenmatrizen mit symmetrischen Funkionen in Verbindung bringen, anzuwenden. Darüber hinaus befassen wir uns mit halbierten monotonen Dreiecken mit Pfeilen, welche neue Einblicke in die Verbindung von vertikalsymmetrischen alternierenden Vorzeichengebilden und symplektischen Schurpolynomen liefern. Ein wichtiger Aspekt des Projektes ist die Untersuchung der Schurentwicklung einer Erzeugendenfunktion, welche im Zusammenhang zu monotonen Dreicken mit Pfeilen steht. Diese Entwicklung legt vermutlich unerwartete Verbindungen zwischen verschiedenen Symmetrieklassen alternierender Vorzeichenmatrizen offen und trägt so zu einem tieferen Verständnis des komplexen Zusammenspiels dieser kombinatorischen Objekte bei.