Störung von Polynomen und Liften über Invarianten

In den späten dreissiger Jahren entwickelte F. Rellich die analytische 1-Parameter-Störungstheorie linearer Operatoren, welche ihren Höhepunkt mit der viel beachteten Monographie von T. Kato erreicht. Zum Studium des Verhaltens der Eigenwerte von symmetrischen Matrizen, die analytisch von einem Parameter abhängen, zeigte Rellich, dass die Wurzeln einer reell-analytischen Kurve von monischen univariaten hyperbolischen (alle Wurzeln reell) Polynomen fixen Grades eine reell-analytische Parametrisierung erlauben. Glatte Störungen von Polynomen wurden seither intensiv studiert, hauptsächlich 1-Parameter-Störungen hyperbolischer Polynome. Erst kürzlich wurde die reell-analytische Multi-Parameter-Störungstheorie hyperbolischer Polynome von K. Kurdyka und L. Paunescu und die glatte 1-Parameter-Störungstheorie komplexer Polynome vom Antragsteller untersucht. Dieses Forschungsprojekt setzt das Studium über Störungen von Polynomen fort mit dem glatten komplexen Multi- Parameter-Fall als Schwerpunkt. Ich erwarte mir, dass (unter geeigneten Bedingungen) eine glatte Familie von Polynomen Wahlen von Wurzeln mit lokal integrablen partiellen Ableitungen erster Ordnung zulässt. Dieses Problem besitzt eine natürliche Verallgemeinerung: Man betrachte eine komplexe endlich-dimensionale Darstellung V einer reduktiven algebraischen Gruppe G. Die Algebra der G-invarianten Polynome auf V ist endlich erzeugt, etwa von p_1,...,p_n, und ihre Einbettung in die Algebra der Polynome auf V induziert eine Projektion von V auf den kategorische Quotienten V//G. Diese Projektion kann mit der Abbildung p=(p_1,...,p_n) identifiziert werden. Für eine glatte Abbildung F nach V//G, nun als Teilmenge des affinen komplexen Raumes aufgefasst, können wir uns fragen, ob ein glatter Lift von F nach V existiert. Die Untersuchung dieses Liftungsproblems stellt den zweiten Teil des Forschungsprojektes dar. Es ist zu erwarten, dass sich die Ergebnisse des Störungsproblems für Polynome verallgemeinern lassen. Dies wurde schon im reellen Fall (welcher den hyperbolischen Polynomen entspricht) gezeigt, wo V eine reelle endlich-dimensionale Darstellung einer kompakten Lie-Gruppe G ist. Man kann Anwendungen in der Störungstheorie linearer Operatoren, der Theorie partieller Differentialgleichungen und dem Studium der Struktur von Orbiträumen erwarten.