Banachräume stetiger und Lipschitz-Funktionen

Das Hauptziel unseres Projekts ist es Räume sogenannter stetiger und Lipschitz-Funktionen aus dem Blickwinkel verschiedener mathematische Gebiete wie Geometrie, Topologie, Analysis und Logik zu studieren. In anderen Worten, wir interessieren uns für spezielle mathematische Räume regulärer und braver Funktionen. Grob gesprochen, sind stetige Funktionen diejenigen Funktionen zwischen zwei gegebenen mathematischen Räumen, deren Graphen keine Löcher oder Sprünge haben. Bei Lipschitz- Funktionen handelt es sich um spezielle stetige Funktionen, bei denen die Steigung der Funktion überall durch eine feste positive Zahl beschränkt ist. Man kann sich vorstellen, dass der Graph solcher Funktionen besonders regulär oder zahm ist. Die Räume auf denen wir diese stetigen oder Lipschitz-Funktionen betrachten sind sogenannte metrische Räume. Die Hauptmotivation für die Betrachtung dieser Räume ist, dass sie gewissermaßen den physikalischen Raum verallgemeinern. Hier kann sowohl die Struktur des Raumes als auch die Art und Weise Abstände zu messen anders sein als die aus dem Alltag gewohnte. Daher kann man sich die Ziele unseres Projekts so vorstellen, dass wir die Eigenschaften von Transformationen (Funktionen) zwischen zwei Verallgemeinerungen unserer physikalischen Welt studieren. In den letzten Jahrzehnten wurde eine geometrische Theorie dieser metrischen Räume genannt metrische Geometrie entwickelt. Diese Theorie hat sich als sehr fruchtbar und vielversprechend herausgestellt. Die Funktionen, die wir untersuchen, bilden sogenannte Banachräume. Dies bedeutet, dass sie spezielle Vektorräume sind, in denen Funktionen nicht nur addiert und mit Zahlen multipliziert werden können, sondern auch Abstände zwischen den Funktionen bestimmt werden können. Verschiedene Arten der Abstandsmessung führen zu verschiedenen geometrischen Eigenschaften dieser Banachräume. Daher können wir in Zusammenhang mit dem Ziel die Struktur der metrischen Räume besser zu verstehen, die Struktur der Banachräume von Funktionen auf diesen Räumen untersuchen. Wie bereits erwähnt, planen wir Techniken und Methoden aus verschiedenen Bereichen der Mathematik wie Geometrie, Analysis und Logik anzuwenden. Dieser interdisziplinäre Ansatz erscheint innovativ und wir sind überzeugt, dass wir mit unserem Projekt in der Lage sind ein tieferes Verständnis für diese Banachräume und die zugrundeliegenden metrischen Räume zu erlangen.

Das Hauptziel dieses Projekts war es Räume sogenannter stetiger und Lipschitz-Funktionen aus dem Blickwinkel verschiedener mathematische Gebiete wie Geometrie, Topologie, Analysis und Logik zu studieren. In anderen Worten, wir untersuchten spezielle mathematische Räume regulärer und braver Funktionen. Neben der Untersuchung von Räumen von Funktionen zwischen metrischen Räumen haben wir uns auch mit der Frage beschäftigt wie viel Geometrie oder Topologie in der zugrundeliegenden Räumen gefunden und verstanden werden kann und welche geometrischen und topologischen Eigenschaften diese Räume haben. Wir haben für manche der untersuchten Banachräume entdeckt wie man deren Struktur aus den lokalen Eigenschaften des zugrundeliegenden Raums und einem sehr groben Blick auf die globale Struktur erhalten kann. Darüber hinaus haben wir für einige dieser Funktionenräume gezeigt, dass sie nicht durch stetige Funktionen auf manche der anderen untersuchten Räume abgebildet werden können. Weiters haben wir herausgefunden wie spezielle unendliche Mengen in diesen Räumen aussehen und wie sie sich verhalten. Durch die Verwendung von Techniken und Methoden aus verschiedenen Bereichen der Mathematik ist es uns nicht nur gelungen ein tieferes Verständnis für diese Banachräume und die zugrundeliegenden metrischen Räume zu erlangen, sondern wir konnten auch neue Erkenntnisse über diese Methoden gewinnen.