Kompaktheit und Kombinatorik

Das Projekt konzentriert sich auf das Zusammenspiel zweier verschiedener Gebiete der Mengenlehre. Es ist zu erwarten, dass die untersuchten Zusammenhänge dieser beiden Gebiete, unser Verständnis des mathematischen Universums vertiefen und verbessern werden. Um Antworten auf Fragen, welche jedes von den beiden Gebieten nicht selbst beantworten kann, zu bekommen, werden wir neue Methoden und Verfahren entwickeln. Der verallgemeinerte Bair Raum ist ein natürlicher Schnittpunkt dieser beiden Gebiete, welcher auch als eine Verallgemeinerung der reelen Zahlen auf größere Unendlichkeiten betrachtet werden kann.

Dieses Projekt untersucht unendliche kombinatorische Eigenschaften der sogenannten höheren Baire-Räume. Die höheren Baire-Räume sind ein natürliches Analogon der klassischen Baire-Räume bei höheren Kardinalzahlen. Das Projekt konzentriert sich auf zentrale Probleme des Gebiets und bietet eine Reihe bahnbrechender Ergebnisse, darunter: die Untersuchung höherer Baire-Räume, Analoga der klassischen unabhängigen Familien; die Entwicklung einer neuen erzwingenden Iterationstechnik, die als System paralleler nichtlinearer Iterationen beschrieben werden kann; eine genaue Analyse der Beziehung zwischen den höheren Baire-Raumanalogen des Turms und den Pseudo-Schnittpunktzahlen, wobei ein Analogon mit dem berühmten Ergebnis von Malliaris-Shelah erstellt wird, dass die beiden Invarianten in der zählbaren Umgebung zusammenfallen; Außerdem wird eine globale Bewertung des Spektrums der maximalen kappa-nahezu disjunkten Familien gegeben. Die erzielten Ergebnisse und entwickelten Techniken stellen einen bedeutenden Fortschritt in diesem aktiv wachsenden Bereich der Mengenlehre. Die entwickelte Theorie bildet eine solide Grundlage für die Lösung wichtiger noch offener Probleme.