Logik und Topologie in Banachräumen

Das Projekt widmet sich dem Studium topologischer und geometrischer Eigenschaften von Banachräumen und deren dualen Räumen, um deren Struktur besser zu verstehen. Topologische Eigenschaften der schwachen Topologie implizieren häufig wichtige geometrische Eigenschaften des betrachteten Banachraums. Andererseits liefern geometrische Eigenschaften des Banachraums oft Informationen über dessen schwache Topologie. Ähnliche Aussagen gelten für die Duale der Banachräume mit der Schwach-Stern-Topologie. Wir werden diesen Zusammenhang im Detail untersuchen. Die Hauptziele des Projektes sind: 1) Neue Techniken für die Konstruktion und das Studium von Banachräumen entwickeln, indem Techniken aus der Mengenlehre und Kategorientheorie verwendet werden. 2) Unterschiedliche Netztypen und zugehörige Konzepte der schwachen Topologie untersuchen, um Zusammenhänge zu Renormierungstheorie zu finden. Ergebnisse des ersten Ziels werden zu neuen Beispielen führen, die einige der Probleme, den Zusammenhang der geometrischen und topologischen Eigenschaften der Banachräume betreffend, lösen. Das zweite Ziel wird zu einem besseren Verständnis der schwachen Topologie und deren Zusammenhang mit der geometrischen Struktur eines Banachraums führen.

Logik und Topologie in Banachräumen Kurzfassung für die Öffentlichkeitsarbeit Das Projekt widmete sich dem Studium topologischer und geometrischer Eigenschaften von Banachräumen und deren dualen Räumen, um deren Struktur besser zu verstehen. Topologische Eigenschaften der schwachen Topologie implizieren häufig wichtige geometrische Eigenschaften des betrachteten Banachraums. Andererseits liefern geometrische Eigenschaften des Banachraums oft Information über dessen schwache Topologie. Ähnliche Aussagen gelten für die Duale der Banachräume mit der Schwach-Stern-Topologie. Wir haben einige Beispiele dieser Art von Zusammenhang untersucht, insbesondere Implikationen zwischen verschiedenen Arten der Konvergenz von Maßen auf booleschen Algebren. Folgende sind die wichtigsten Errungenschaften des Projekts. 1) Neue Methoden wurden für die Konstruktion und das Studium von Banachräumen entwickelt, indem Techniken aus der Mengenlehre wie z.B. die Forcing-Methode und Guessing-Prinzipien verwendet wurden. 2) Unterschiedliche Netzwerktypen und zugehörige Konzepte der schwachen Topologie wurden untersucht, um strukturelle Eigenschaften der betrachteten Banachräume festzustellen. Im Zusammenhang mit 1) erhaltene Ergebnisse haben zu neuen Beispielen geführt, die einige Probleme, die das Zusammenspiel zwischen Konvergenz und topologischen Eigenschaften in nicht-separablen Banachräumen betreffen, lösten. Im Rahmen von 2) erhaltene Resultate konnten das kombinatorische Wesen der betrachteten Eigenschaften aufdecken, welches zu einem besseren Verständnis der Topologie von normierten Räumen führt.