Das Kontinuum, das Forcing und große Kardinalzahlen

In diesem Projekt erforschen wir die Verbindungen zwischen großen Kardinalzahlen und Forcing mit Betonung auf Eigenschaften des Kontinuums. Unsere Arbeit beschäftigt sich mit drei Themen: (1) "Kombinatorische Eigenschaften der Kardinalzahlen und der Kontinuumfunktion". Unsere Hauptinteresse unter diesem Thema ist die Wirkung der kombinatorischen Eigenschaften auf die Kontinuumsfunktion (die Funktion, die jeder Kardinalzahl kappa die Mächtigkeit der Potenzmenge von kappa zuweißt). Easton zeigte, dass ZFC sehr wenig über die Einschränkung der Kontinuumsfunktion auf reguläre Kardinalzahlen beweist. Es wird aber sehr interessant, wenn wir große Kardinalzahlen oder Eigenschaften (wie z.B. die Baumeigenschaft, Square Prinzipien, usw.), die im Kontext der großen Kardinzahlen formuliert werden, in Betracht nehmen. In Thema 1 erforschen wir diese Eigenschaften. (2) "Kombinatorische Charakteristiken des Kontinuums und Mathias Forcing". Hier konzentrieren wir uns auf das Kontinuum angesichts gewissen kombinatorischen Charakteristiken, die wir unter Verwendung von Mathias Forcing analysieren können. Dieses Forcing ist von einem Filter auf die Potenzmenge von omega bestimmt; deshalb ist es in diesem Kontext natürlich, die Verbindungen zwischen kombinatorischen Eigenschaften von Filters und Eigenschaften des Kontinuums zu erforschen. Diese Forschung besteht aus eine Mischung von der Mengenlehre und der Topologie. (3) "Neue Entwicklungen in der Theorie von Template Iterations". Template Iterations liefern eine Methode, um neue kombinatorische Eigenschaften des Kontinuums zu entdecken. Unter den Problemen, die uns interessieren, sind: singuläre Kardinalzahlcharakteristiken, Anwendungen von Template Iterations auf undefinierbare Teilordnungen und die Anwendung von Template Iterations mit einer Mischung von endlichen und abzählbaren Support.

In diesem Projekt haben wir mehrere Aspekte der Mengenlehre, die Theorie der Unendlichkeit, erforscht. Themen waren sowohl die großen Kardinalzahlen, die Kombinatorik von Ordnungen und Graphen als auch spezifische Eigenschaften des Kontinuums. Das Projekt wurde gemeinsam von der Kurt Goedel Research Center Forschungsgruppe und der Gruppe in der Logik bei der Charles University in Prag durchgeführt.