Allgemeine Topologie und mengentheoretische Methoden

Das zentrale Thema der geplanten Forschungsarbeit ist die Anwendung mengentheoretischer Mittel, wie der Erzwingungsmethode, elementare Submodelle, Kardinalzahl-Charateristiken, sowie deren Synthese mit Techniken aus der Topologie, wie der Selektion mengenwertiger Funktionen, auf Fragen der allgemeinen Topologie. So beabsichtigen wir beispielsweise die Frage, ob reguläre Lindelöf Räume, oder allgemeiner noch, ob parakompakte Räume D-Räume sind mittels elementarer Submodelle und mengenwertiger Funktionen zu beantworten. Außerdem erwarten wir uns signifikante Fortschritte im Verständnis multiplikativer Lindelöf Räume in einigen Modellen von ZFC, sowie deren Verhältnis zu D-Räumen, was starke Auswirkungen auf das Studium der Michael-Räumen haben könnte. Zusätzlich zu den Lösungen einiger Probleme, die später genannt werden, sollte unsere Arbeit zu einem tieferen Verständnis oben erwähnter Methoden beitragen. Der Begriff des D-Raums wurde von van Douwen und Pfeffer 1979 eingeführt und gehört seither zu den wichtigsten Konzepten der allgemeinen Topologie. Wie Eisworth 2007 erkannte, ist es für das Studium der D- Räume sehr wichtig, ein besseres Verständnis der Beziehung zwischen den Überdeckungseigenschaften und dem Status eines D-Raums, zu entwickeln. Insbesondere sind die folgenden Probleme ungelöst: Ist jeder reguläre Lindelöf Raum X ein D-Raum? Ist jeder parakompakte Raum ein D-Raum? Erste bemerkenswerte Fortschritte wurden kürzlich von L.Aurichi erzielt, der zeigen konnte, dass jeder Raum mit der Menger`schen Überdeckungseigenschaft ein D-Raum ist. In einer gemeinsamen Arbeit von Repovš und Zdomskyy konnten wir den kombinatorischen Kern aus Aurichi`s Beweis isolieren und erweitern um schließlich, unter der Annahme von Martin`s Axiom, zu zeigen, dass jeder parakompakte Raum der Größe ein D-Raum ist. Dieses Theorem beantwortet eine von G. Gruenhage gestellte Frage. Eines der Ziele unseres Projekts ist es das obengenannte Resultat zu verstärken, bestenfalls indem wir ohne zusätzliches mengentheoretisches Axiom auskommen, was die zweite der obigen Fragen beantworten würde. Neben geeigneter mengentheoretischer Spiele, wie zuvor, planen wir Resultate der Theorie der mengenwertigen Funktionen und deren Selektionen anzuwenden, ein Gebiet in dem D. Repovš außergewöhnlich bewandert ist. Dieser Zugang basiert auf unserer Beobachtung, dass es viele natürliche mengenwertige Funktionen gibt, die starke topologische Eigenschaften aufweisen, und die gesamte Information über eine Umgebungszuordnung N enthalten. Wir erwarten uns, dass elementare Submodelle hier eine nützliche Rolle spielen. Ein anderes damit verwobenes Problem ist das folgende: Existiert ein Lindelöf Raum X dessen Produkt mit dem Raum der irrationalen Zahlen nicht Lindelöf ist? Räume X, die diese Eigenschaft besitzen, werden Michael Räume genannt. Es gibt eine Vielzahl an konsistenten Beispielen von Michael Räumen. Trotzdem scheint die vollständige Lösung des Problems außerhalb der Reichweite aktuell bekannter Methoden zu liegen, weswegen es sinnvoll erscheint es in kleinen Schritten anzugehen. Einer der natürlichsten Zugänge, implizit vorgeschlagen von F. Tall in einer seiner neuesten Arbeiten, wäre es die multiplikativ Lindelöf`schen Mengen reeller Zahlen zu analysieren. Es wurde neulich von Repovš und Zdomskyy gezeigt, dass jeder mulitplikative Lindelöf Raum die Menger`sche Eigenschaft besitzt und somit ein D-Raum ist, falls Michael Räume existieren. Dieses Ergebnis scheint eine zuvor versteckte Verbindung zwischen oben genannten Problemen aufzudecken, und wir haben vor, hier noch weitere Untersuchungen anzustellen. Ein weiteres faszinierendes Feld ist das Verhalten muliplikativer Lindelöf Mengen von reellen Zahlen, unter der Annahme der Negation der Kontinuumshypothese. Wir wollen untersuchen, ob diese Mengen -kompakt in den Miller bzw. Sacks Modellen von ZFC sind. Erwartet wird eine positive Antwort für die projektiven Mengen von reellen Zahlen.

Das zentrale Thema des Projektes war die Anwendung mengentheoretischer Methoden wie Forcing, elementare Untermodelle, Kardinalzahlcharakteristika und deren Kombination mit topologischen Methoden wie mengenwertige Abbildungen auf Fragen der mengentheoretischen Topologie. Unsere wichtigsten Errungenschaften stehen zur Erhaltung verschiedener Überdeckungseigenschaften in Produkten in Beziehung. So haben wir beispielsweise zusammen mit Andrea Medini bewiesen, dass die Kontinuumhypothese impliziert, dass jede abzählbare Potenz jedes produktiven Lindelöfraumes abzählbarer Dichtigkeit Lindelöf ist. Dies verallgemeinert verschiedene Ergebnisse von Tall, Tsaban und anderen und ist heuer die beste Annäherung an eine Antwort auf die folgende berühmte Frage von E. Michael: Ist die abzahlbare Potenz eines produktiven Lindelöfraumes Lindelöf?. Unser Beweis benutzt mengenwertige Abbildungen und elementare Untermodelle des in Frage stehenden Universums. In unserer Zusammenarbeit mit Leandro Aurichi haben wir topologische Räume, deren Produkt mit jedem Lindelöfraum Lindelöf ist, vermöge derer internen Eigenschaften charakterisiert, welches ein klassisches, Tamano zugeschriebenes, Problem löst. Die Grundidee dieser Charakterisierung war, einen Hilfsraum, dessen Punkte gewisse Familien offener Mengen mit geeigneter kombinatorischer Struktur sind, zu analysieren. Dies gestattete uns, ein altes Resultat von Alster welches unter Annahme der Kontinuumhypothese die Klasse der produktiven Lindelöfraume kleinstmöglichen überabzählbaren Gewichts charakterisiert, zu verbessern. Anders als in Alsters Ergebnis, ist unsere Verbesserung ohne Einschränkung der Große des Kontinuums gültig. Eine andere erfolgreiche Forschungsrichtung im Rahmen dieses Projektes war die Analyse der Beziehungen zwischen kombinatorischen Überdeckungseigenschaften und Forcing. Die Anwendung kombinatorischer Überdeckungseigenschaften auf Forcing wird in dem gemeinsam mit Chodounsky und Repovs in 2015 veröffentlichten Artikel betrachtet. Insbesondere behandeln wir dort Filter auf der Menge der natürlichen Zahlen, zu ihnen assoziierte Forcings, Kardinalzahlcharakteristika und Erhaltungssätzevon Beschränktheitseigenschaften der Menge der reellen Zahlen im Grundmodell. Unter anderem bewiesen wir, dass der entsprechende Erhaltungssatz für Mathiasforcing mit einem Filter eine ungeahnte topologische Facette hat, welche es uns erlaubt, verschiedene Fragen von Brendle, Hrusak, Minami und anderen zu beantworten. Bezüglich der Gegenrichtung lasst sich feststellen, dass es anscheinend bis vor kurzem nur einzelne Anwendungen von Forcing auf kombinatorische Überdeckungseigenschaften, welche zudem in dem Sinne, dass man sich tatsächlich mit der Forcinghalbordnung und nicht mit gewissen (Un)gleichungen in den jeweiligen Forcingerweiterungen befasst, direkt sind, gab. Mit unserer Arbeit haben wir, durch den Beweis von Erhaltungssätzen für die Überdeckungseigenschaften Mengers und Hurewiczs in klassischen durch Miller bzw. Laver definierten Modellen, gezeigt, dass dieser Themenkomplex ein mannigfaltiges zu erforschendes Gebiet sein konnte. In der gesamten Forschungstätigkeit haben wir ein besonderes Augenmerk auf die Weiterentwicklung der betroffenen Methoden gelegt.