Inhomogene Wachstumsprobleme mit linearem Wachstumsterm

Das Hauptziel der Variationsrechnung ist es, Minima von Funktionen zu finden, die auf unendlich dimensionalen Objekten definiert sind. Dieser Zweig der Mathematik tauchte erstmals im Zusammenhang mit der mathematischen Physik auf. Bereits von Euler und Lagrange wurde im 18. Jahrhundert beobachtet, dass das Verhalten von Systemen, die von partiellen Differentialgleichungen beherrscht werden, oft äquivalent durch ein Minimierungsproblem beschrieben werden kann. Dies ist die Grundlage für die Anwendung von Variationsmethoden auf Probleme der Physik. Die oben erwähnten unendlichdimensionalen Objekte sind Funktionenräume und das minimierte Objekt ist ein Funktional, dessen Eingabe eine Funktion und dessen Ausgabe eine Zahl ist. Ein typisches Beispiel ist der Wärmefluss, wenn das entsprechende Funktional das Integral über das Quadrat des Gradienten einer Funktion ist. Bei jedem Problem an der Schnittstelle von Variationsrechnung und partiellen Differentialgleichungen gibt es drei wesentliche Fragen. Die erste ist die Existenz von Lösungen in einer richtig ausgewählten Klasse. Die zweite ist die Eindeutigkeit von Lösungen in dieser Klasse und die dritte ist ihre Regularität. Dieser letzte Begriff deckt alle zusätzlichen Eigenschaften der Lösung ab, zum Beispiel Glätte, Energieschranken oder Grenzverhalten. Dies gilt sowohl für elliptische Probleme (Modellierung stationärer Zustände) als auch für parabolische Probleme (Evolution in der Zeit). Es stellt sich heraus, dass viele Eigenschaften von Lösungen von der Wachstumsrate des minimierten Funktionals abhängen. Die meisten modernen Techniken eignen sich am besten für den Fall, dass das Wachstum durch eine Potenz größer als 1 gegeben ist. Wir geben zwei Beispiele, die nicht in diese Kategorie fallen: wenn das Funktional ein lineares Wachstum hat und wenn das Wachstum inhomogen ist, d.h. es kann von Ort oder Richtung abhängen. In diesem Projekt untersuchen wir Probleme, die an der Schnittstelle zwischen diesen beiden Fällen liegen: parabolische und elliptische Probleme, die sowohl inhomogenes Wachstum als auch lineares Wachstum aufweisen, d.h. in den zugehörigen Funktionalen gibt es einen Term mit linearem Wachstum und einen Term mit schnellerem Wachstum. Sie sind relevant für Modelle des Kristallwachstums, von Bingham-Flüssigkeiten und in Algorithmen in der Bildverarbeitung. Bis jetzt gibt es nur sehr wenige eindeutige Ergebnisse zu solchen Problemen. Wir planen Existenz, Eindeutigkeit und Regularität von Lösungen zu untersuchen und dies durch eine Analyse qualitativer Eigenschaften von Lösungen wie Bildung von Facetten oder ungefähres Verhalten von Lösungen für Evolutionsprobleme über lange Zeiträume zu ergänzen. Das zugrunde liegende Thema ist, dass es einen Konkurrenz zwischen dem linearen Term und dem superlinearen Term gibt: ersterer begünstigt Phasenübergänge und die Bildung von Diskontinuitäten, während letzterer regulierende Eigenschaften haben kann.