Aufkommende Verzweigungsstrukturen in zufälliger Geometrie

Die bahnbrechenden Arbeiten des Physikers Polyakov vor mehr als vierzig Jahren haben den Weg für einen neuen Ansatz in der Stringtheorie geebnet, der auf der Untersuchung von Zufallsflächen basiert, die grundlegende und universelle mathematische Objekte sind. Dieses Projekt zielt darauf ab, leistungsfähige Werkzeuge zu entwickeln, um neue Horizonte in verschiedenen Aspekten der Zufallsgeometrie zu erkunden. Das Hauptziel besteht darin zu zeigen, wie hervorkommende Verzweigungsstrukturen Licht auf den Skalierungsgrenzwert bestimmter Merkmale von Modellen der statistischen Physik bei Kritikalität werfen. Das Projekt baut auf einer bemerkenswerten Anzahl von Durchbrüchen in den Bereichen planarer Karten und zufälliger konformer Geometrie auf, verbunden mit der statistischen Mechanik oder Schramm-Löwner-Evolution. Das Projekt stützt sich auf zwei miteinander verknüpfte Aspekte der Zufallsgeometrie, nämlich die diskrete Zufallsgeometrie und die Liouville- Quantengravitation. Der erste Aspekt konzentriert sich auf die großräumigen Eigenschaften von dekorierten planaren Karten (loop-O(n), Fortuin-Kasteleyn) und von zufälligen Permutationen, die letztlich mit der Zufallsgeometrie verbunden sind. Im zweiten Aspekt untersuchen wir einige offene Fragen im Zusammenhang mit Schramm-Löwner Erkundungen von Quantenflächen und Zufallspermutonen, die im Grenzwert natürlicher Modelle großer Zufallspermutationen auftauchen.