Theorie und Anwendungen adaptierter Wassersteindistanz

Stochastische Prozesse werden verwendet, um die Entwicklung bestimmter sich zeitlich ändernder Zustände in der Welt zu beschreiben, die nicht mit absoluter Sicherheit vorhergesagt werden können. Prominente Beispiele sind Aktienkurse, die häufig durch stochastische Prozesse beschrieben werden, die sich aus dem Black-Scholes-Modell ergeben. Natürlich müssen die tatsächlichen Aktienkurse nicht diesem einfachen Modell folgen, und selbst wenn sie es tun, kann es sein, dass die für das Modell verwendeten Parameter nicht mit perfekter Genauigkeit kalibriert sind. Folglich kann es vorkommen, dass die aus dem Modell abgeleiteten Vorhersagen nicht perfekt mit der Realität übereinstimmen; so können beispielsweise die tatsächlichen Marktschwankungen höher sein als die vorhergesagten. Daher ist es wichtig zu verstehen, wie sich Änderungen im Modell auf die daraus gezogenen Schlussfolgerungen auswirken. Um dieses Problem angemessen angehen zu können, muss man einen Begriff für den Abstand zwischen stochastischen Prozessen festlegen, d. h. eine Quantifizierung, wie nah oder weit zwei verschiedene Prozesse beieinander liegen. In bestimmten einfachen Fällen ist dies eine leichte Aufgabe: Das Black-Scholes-Modell beispielsweise hängt nur von zwei Parametern ab (dem Drift und den Schwankungen), und zwei verschiedene Modelle können anhand der Unterschiede zwischen ihren Parametern verglichen werden. Im Allgemeinen sind stochastische Prozesse jedoch komplizierte Objekte, und das Finden des richtigen Abstandsbegriffs ist subtiler. Diese Subtilität tritt bereits in dem viel einfacheren Setting von Zufallsobjekten auf, die sich nicht in der Zeit entwickeln. Stütztend auf den Entwicklungen in der Theorie des optimalen Transports in den letzten Jahrzehnten, ist in diesem Setting eine zufriedenstellende Antwort möglich. Für Zufallsobjekte, die sich zeitlich entwickeln (d.h. stochastische Prozesse), ist diese Theory aber leider nicht geeignet. Andererseits wurden in den letzten Jahren mehrere Varianten des optimalen Transports untersucht, die sich für die Analyse des Abstands zwischen stochastischen Prozessen eignen, und sie haben sich in mehreren Anwendungen als nützlich erwiesen, insbesondere in der Finanzmathematik. Gleichzeitig fehlt es noch an einem tieferen allgemeinen Verständnis und viele grundlegende Fragen sind noch offen. In diesem Projekt planen wir, die Theorie des optimalen Transports für stochastische Prozesse weiterzuentwickeln und sie systematisch auf pressierende Fragen innerhalb der Finanzmathematik anzuwenden.