Unendliche Kombinatorik und Definierbarkeit

Die Arbeiten von Georg Cantor im 19 Jahrhundert legten den Grundstein für das Forschungsgebiet der Mengenlehre. Seitdem haben die kombinatorischen Eigenschaften von unendlichen Mengen reeller Zahlen eine wichtige Rolle in der Analysis gespielt. Zwei bahnbrechende Entwiklungen auf dem Gebiet der Mengenlehre waren Kurt Gödels Konstruktibles Universum und Paul Cohens Forcing-Methode. Das vorliegende Projekt beschäftigt sich mit einigen der zentralen Fragestellungen der kombinatorischen Eigenschaften der Menge der reellen Zahlen, welche aus den oben genannten Phänomenen, Definierbarkeit und Unabhängigkeit, entstehen.

Das axiomatische System von Zermelo-Fraenkel und die so genannte Forcing-Methode erfassen einen Reichtum an unendlichen kombinatorischen Strukturen in Form spezieller Mengen reeller Zahlen, Mengen die oft aus der Analysis, der Topologie oder der Algebra stammen. Diese speziellen Mengen werden oft mit den so genannten kombinatorischen Kardinalcharakteristiken der reellen Zahlen assoziiert und können mit Hilfe elementarer mengentheoretischer Operationen definiert werden. Die von ihnen erfasste unendliche Kombinatorik ist jedoch außerordentlich komplex und bringt uns leicht an die Grenzen der Mathematik, wie das Ausmaß von Unabhängigkeits- und relativen Konsitenzergebnissen dieses Bereichs zeigt. Die unendliche Kombinatorik, die durch diese Mengen reeller Zahlen erfasst wird, kann als eine gemeinsame Sprache zwischen verschiedenen, scheinbar nicht zusammenhängenden mathematischen Objekten angesehen werden, Objekten, die zu scheinbar nicht verwandten Bereichen der Mathematik gehören. Neben der Feststellung bemerkenswerter neuer relativer Konsistenzergebnisse zwischen klassischen kombinatorischen Kardinalcharakteristiken, und damit zwischen Menden besonderer Bedeutung, stellen wir auch einige signifikante neue ZFC-Abhängigkeiten zwischen Kardinalcharakteristiken fest. Zwei der bedeutendsten Ergebnisse des Projekts sind einerseits die Tatsache, dass es konsistent eine maximale unabhängige Familie mit einer Kardinalität abzählbarer Kofinalität gibt, und andererseits die Tatsache, dass die minimale Kardinalität einer Ultrafilterbasis niemals die minimale Kardinalität einer maximal idealen-unabhängigen Familie überstiegt. Eine Kardinalcharakteristik kann als die kleinste Kardinalität einer Menge reeller Zahlen mit einer bestimmten Eigenschaft angesehen werden, während das Spektrum einer solchen Charakteristik als die Menge aller möglichen Kardinalitäten von Mengen reeller Zahlen, die die relevante Eigenschaft der Charakteristik erfüllen, zu betrachten ist. Das Projekt erzielt erhebliche Fortschritte beim Verständnis des Spektrums maximaler idealer unabhängiger Familien, maximaler unabhängiger Familien sowie nicht erweiterbarer Distributivitätsmatrizen. Die Kontrolle der Spektren solcher unendlichen kombinatorischen Objekte führt zu einer tiefgreifenden Analyse des Begriffes starker Maximalität, die dieser Mengen eine zusätzliche kombinatorische Stärke verlieht, die es uns ermöglicht, die relative Konsistenz zahlreicher, bisher unbekannter Konstellationen von Kardinalcharakteristiken festzustellen. Ein paralleles und ebenso spannendes Forschungsthema ist die Untersuchung der Definierbarkeitseigenschaften solcher kombinatorischer Mengen. Das Projekt erzielt bahnbrechende Fortschritte beim Verständnis der projektiven Komplexität verschiedener kombinatorischer Mengen reeller Zahlen in Modellen mit großem Kontinuum und stellt insbesondere Modelle bereit, in denen verschiedene Konstellationen, Zeugen optimaler projektiver Komplexität besitzen. Die Zusammenführung der Untersuchung des Spektrums einer Kardinalcharakteristik und der Existenz gewünschter kombinatorischer Mengen optimaler projektiver Komplexität führt uns zur Untersuchung der sogenannten Modelle optimaler projektiver Spektren: Dies sind Modelle in dem jede Kardinalzahl aus dem Spektrum einer bestimmten Charakteristik durch eine relevante kombinatorische Menge optimaler projektiver Komplexität bestätigt/bezeugt wird. Die Arbeiten und Ergebnisse des Projekts stellen bedeutende Fortschritte bei der Untersuchung der mengentheoretischen Eigenschaften der reellen Zahlen dar, indem sie eine große Anzahl von Fragen beantworten und neue spannende mathematische Probleme und Forschungsrichtungen ans Licht bringen.