Stoerung von Polynomen, Verallgemeinerungen und Anwendungen

In den spaeten dreissiger Jahren entwickelte F. Rellich die 1-Parameter analytische Stoerungstheorie linearer Operatoren, welche ihren Hoehepunkt mit der viel beachteten Monographie von T. Kato erreichte. Rellich bewies, dass die Wurzeln einer reell analytische Kurve von monischen univariaten hyperbolischen (alle Wurzeln reell) Polynomen eine reell analytische Parametrisierung erlauben. Dies verwendend zeigte er, dass die Eigenwerte und die Eigenvektoren einer reell analytischen Kurve von symmetrischen Matrizen (oder sogar von unbeschraenkten selbstadjungierten Operatoren in einem Hilbertraum mit gemeinsamem Definitionsbereich und kompakter Resolvente) reell analytisch gewaehlt werden koennen. Glatte Stoerungen von Polynomen wurden seither intensiv studiert, vorwiegend 1-Parameter Stoerungen hyperbolischer Polynome. In der letzten Dekade erschienen mehrere neue Beitraege zu diesem Gebiet. Einige davon basieren auf einem kuerzlich erlangtem, tieferem Verstaendnis von Aufloesung von Singularitaeten, das neue Wege fuer das Studium der Stoerung von Polynomen in mehreren Parametern eroeffnet. In diesem Forschungsprojekt wird das Studium von Stoerungen von Polynomen fortgesetzt werden - mit Hauptaugenmerk auf den glatten komplexen (nicht notwendig hyperbolischen) Fall mit mehreren Parametern. Aufloesung von Singularitaeten quasianalytischer Funktionsklassen wird eine wesentliche Rolle spielen. Die Resultate werden Anwendungen in der Stoerungstheorie unbeschraenkter normaler Operatoren haben. Dies erfordert einen Differentialkalkuel fuer quasianalytische Funktionenklassen jenseits von Banachraeumen. Damit ist die Entwicklung des Convenient Setting fuer quasianalytische Denjoy-Carleman differenzierbare Abbildungen ein weiteres Hauptziel dieses Forschungsprojektes. Einen zweiten Schwerpunkt wird die folgende natuerliche Verallgemeinerung des Stoerungsproblems fuer Polynome darstellen: Man betrachte eine rationale komplexe endlichdimensionale Darstellung einer reduktiven linearen algebraischen Gruppe. Die Algebra der invarianten Polynome ist endlich erzeugt, und ihre Einbettung in die Algebra aller Polynome auf dem Darstellungsraum induziert eine Projektion auf den kategorischen Quotienten. Diese Projektion kann mit der Abbildung identifiziert werden, die sich aus einem System von Erzeugern zusammensetzt. Gegeben eine glatte Abbildung in den kategorischen Quotienten, aufgefasst als Teilmenge des affinen komplexen Raumes, stellt sich die Frage, ob ein glatter Lift in den Darstellungsraum existiert. Das Problem des Liftens von Abbildungen ueber Invarianten gliedert sich in das umfassendere Projekt des Studiums der analytischen und geometrischen Eigenschaften von Orbitraeumen ein. Ein nahe verwandtes Liftungsproblem ist die Frage, in welchem Ausmass Normalisierungen Pseudo-Immersionen sind, d.h. die universelle Eigenschaft von glatten Immersionen haben. Ein weiteres Ziel dieses Forschungsprojektes ist das Finden einer natuerlichen glatten Liftungsbedingung fuer Normalisierungen. Neben der Stoerungstheorie linearer Operatoren und den Studium der Struktur von Orbitraeumen, sind Anwendungen fuer das Cauchy-Problem in der Theorie der Partiellen Differentialgleichungen zu erwarten.

Die Frage nach der Regularität der Wurzeln eines parameterabhängigen Polynoms ist von grundlegender Bedeutung mit wichtigen Anwendungen in verschiedenen mathematische Disziplinen wie den partiellen Differentialgleichungen, der Störungstheorie linearer Operatoren oder der Singularitätentheorie. Die Fragestellung ist so elementar, dass sie schon mit der Erfindung der Differentialrechnung vor 300 Jahren hätte erfolgen können. Als offenes Hauptproblem in diesem Gebiet galt die Vermutung von Spagnolo aus dem Jahre 2000, dass sich die Wurzeln einer glatten Kurve von Polynomen durch absolut stetige Funktionen parametrisieren lassen. Wir bewiesen diese Vermutung. Als direkte Anwendung folgte lokale Lösbarkeit gewisser Systeme von partiellen Differentialgleichungen. Das Problem der regulären Wahl der Wurzeln ist in natürlicher Weise verwandt mit der Störungstheorie linearer Operatoren, welche in der Physik (z.B. der Quantenmechanik) und den Ingenieurwissenschaften allgegenwärtig ist. In Gegenwart gewisser struktureller Regularität, wie Selbstadjungiertheit oder Normalität, die für gewöhnlich in Anwendungen erfüllt sind, gelten jedoch für lineare Operatoren wesentlich stärkere Störungsresultate als für Polynome. Ein Projektziel war die unendlich dimensionale Verallgemeinerung unserer zuvor für endlich dimensionale Matrizen erzielten Resultate zur glatten Störung der Spektralzerlegung. Im Zuge der Umsetzung dieses Zieles machten wir die erstaunliche Entdeckung, dass die Störungstheorie normaler Operatoren sich gleich gut verhält wie jene selbstadjungierter Operatoren, obwohl Normalität eine schwächere Bedingung ist. Die Umsetzung der Störungstheorie im Unendlichdimensionalen erforderte einen Differentialkalül für (namentlich quasianalytische) Abbildungsklassen zwischen allgemeinen unendlich dimensionalen linearen Räumen. Ein möglicher Zugang ist das sogenannte Convenient Setting", das sich besonders gut für viele Fragestellungen der Globalen Analysis eignet. Wir entwickelten das Convenient Setting für Denjoy-Carleman Klassen; das sind Funktionenklassenmit vielseitigen Anwendungen (z.B.in denpartiellen Differentialgleichungen), welche durch Wachstumsbedingungen an die iterierten Ableitungen gegeben sind. Wenn die Funktionen der Klasse durch die Folge aller Ableitungen in jedem einzelnen Punkt eindeutig bestimmt sind, dann heißt die Klasse quasianalytisch. Quasianalytische und nicht quasianalytische Klassen verhalten sich qualitativ sehr unterschiedlich. Dennoch konnten wir einen uniformen Beweis des Convenient Setting für alle Denjoy-Carleman Klassen erbringen, egal ob quasianalytisch oder nicht. Wir fanden Anwendungen für Abbildungsmannigfaltigkeiten und Diffeomorphismengruppen. Die Frage nach der Regularität der Wurzeln von Polynomen ist ein Spezialfall eines allgemeinen abstrakten Liftungsproblems. Permutiert man nämlich die Wurzeln eines Polynoms, so ändert sich das Polynom nicht. Daher ist der Raum der Polynome eines festen Grades identisch mit dem Raum der Orbits bezüglich der Wirkung der Permutationsgruppe auf dem Raum der Wurzeln. In diesem Bild ist ein parameterabhängiges Polynom eine Abbildung in den Orbitraum und eine Wahl der Wurzeln ist ein Hochheben" (oder Liftung) der Abbildung über die Orbitprojektion. Wir untersuchten dieses Problem für abstrakte Gruppenwirkungen und verallgemeinerten teilweise unsere Ergebnisse für Polynome.