Viele precipitous Ideale

Foreman, Magidor und Shelah haben in ihrem berühmten paper Martin`s Maximum Methoden entwickelt, um das nonstationary ideal (auf bestimmten kappa) precipitous zu machen. Goldring hat gezeigt, wie man die Konstruktion auf P kappa lambda ausweiten kann. In diesem Projekt werden wir versuchen, eine möglichst große Klasse von Idealen precipitous zu machen (unter der Voraussetzung von genügend großen Kardinalzahlen, zB einer Klasse von supercompacts). Das erste Ziel ist ein Satz der folgenden Form: Alle schön definierbaren normalen Ideale auf P kappa lambda (für kappa, lambda regulär) sind precipitous. Dabei muß man natürlich definieren, was "schön definierbar" heißen soll (der Begriff kann zum Beispiel nicht das completely ineffable ideal beinhalten). Weiterführend werden wir die Fälle nicht-normal und singulär untersuchen, sowie Varianten von precipitous, und versuchen, etwas zu den alten ungelösten Fragen auf dem Gebiet beizutragen. (Folgt aus einem precipitous ideal ein normal precipitous ideal? Implizieren große Kardinalzahlen ein precipitous ideal auf aleph1?) Ich werde einen Dissertanten einstellen (dafür ist Wolfgang Wohofsky vorgesehen) und mit Moti Gitik (Tel Aviv University, Israel) und Saharon Shelah (The Hebrew University of Jerusalem, Israel) zusammenarbeiten. Das Projekt wird 24 Monate dauern. Der Großteil der Kosten wird das Gehalt des Dissertanten abdecken. Weiters sind insgesamt vier längere Forschungsaufenthalte für den Dissertanten und für mich vorgesehen, und es sollen Kollegen (für eine potentielle Zusammenarbeit am Projekt) zu zwei Konferenzen in Österreich eingeladen werden.

Im Rahmen des Projekts wurde eine seit längerem offene Frage beantwortet: Konsistenterweise gilt die Borel Conjecture und zugleich die dual Borel Conjecture. Eine Menge A reeller Zahlen heißt strong measure zero (smz), wenn es für jede Folge von rationalen Zahlen eine Überdeckung von A durch Intervalle gibt, deren Längen der gegebenen Zahlenfolge entspricht. Äquivalent dazu: Wenn es für jede komagere Menge B eine reelle Zahl r gibt so dass das Translat von A durch r eine Teilmenge von B ist. Die duale Eigenschaft heißt strongly meager (sm): A ist sm wenn es für jede Maß 1 Menge B eine reelle Zahl r gibt so dass das Translat von A durch r eine Teilmenge von B ist. Die Borel Conjecture (BC) besagt: Jede smz Menge ist abzählbar. Die dual Borel Conjecture (dBC) besagt: Jede sm Menge ist abzählbar. Es ist leicht zu sehen dass unter der Kontinuumshypothese sowohl BC als auch dBC falsch sind. Laver und Carlson haben gezeigt, dass BC und dBC jeweils konsistent sind. Es blieb aber offen ob BC+dBC gleichzeitig konsistent sind.