Konkrete Mathematik: Fraktale, Dynamik und Punktverteilungen

Das Projekt deckt mehrere Forschungsgebiete ab, die durch ihre Methodologie und ihre Motivation aus der mathematischen Physik verbunden sind: Diffusion auf Fraktalen, Punktverteilungen auf der Sphäre und Ziffernfunktionen. Es ist eines der Ziele des Projektes neue Beziehungen zwischen diesen Gebieten herzustellen. Brownsche Bewegung auf Fraktalen ist ein relativ neues Forschungsgebiet, das sich in den letzten Jahren rasant entwickelt hat. Ausgehend von früheren Resultaten des Projektleiters sollen explizite Informationen über Diffusionsprozesse auf sogenannten p.~c.~f-Fraktalen gefunden werden. Später sollen diese Resultate auch auf nicht endlich verzweigte Fraktale ausgedehnt werden; hier sind neue methodische Ansätze erforderlich. Diskrete Punktverteilungen sind seit dem Ende des vorigen Jahrhunderts von verschiedenen Gesichtspunkten untersucht worden. Die Motivationen für diese Untersuchungen kommen aus der Geometrie, der Potentialtheorie, der numerischen Mathematik und vielen anderen Bereichen. Im Rahmen des Projektes sollen verschiedene Methoden zur Verteilung von Punkten auf Sphären untersucht werden: zahlentheoretische Konstruktionen, die auf modularen Formen basieren, Verteilungen minimaler diskreter Energie und sphärische Designs. Die verschiedenen Konstruktionen sollen einerseits theoretisch unter Verwendung von diversen Verteilungsmaßen behandelt werden, andererseits sollen numerische Vergleiche angestellt werden. Die Untersuchung von Ziffernfunktionen hat ihren Ursprung in der Zahlentheorie und der Ergodentheorie. Solche Funktionen haben Anwendungen in der Konstruktion gut verteilter diskreter Punktmengen, der Beschreibung von Fraktalen und sogar in der mathematischen Physik gefunden. Hier konnten sie etwa auf das Ising-Modell für den Magnetismus, auf diskrete Schrödinger-Gleichungen und Quasi-Kristalle angewendet werden. Die ziffernmäßige Beschreibung von Fraktalen gibt die selbstähnliche Struktur wider und gibt neue Möglichkeiten, Periodizitätsphänomene zu erklären, die bei der Diffusion auf Fraktalen auftreten. Einige Probleme, die bei der Untersuchung der dynamischen Eigenschaften von Ziffernentwicklungen offen geblieben sind, sollen im Rahmen des Projektes behandelt werden.

Das Projekt deckt mehrere Forschungsgebiete ab, die durch ihre Methodologie und ihre Motivation aus der mathematischen Physik verbunden sind: Diffusion auf Fraktalen, Punktverteilungen auf der Sphäre und Ziffernfunktionen. Es ist eines der Ziele des Projektes neue Beziehungen zwischen diesen Gebieten herzustellen. Brownsche Bewegung auf Fraktalen ist ein relativ neues Forschungsgebiet, das sich in den letzten Jahren rasant entwickelt hat. Ausgehend von früheren Resultaten des Projektleiters sollen explizite Informationen über Diffusionsprozesse auf sogenannten p.~c.~f-Fraktalen gefunden werden. Später sollen diese Resultate auch auf nicht endlich verzweigte Fraktale ausgedehnt werden; hier sind neue methodische Ansätze erforderlich. Diskrete Punktverteilungen sind seit dem Ende des vorigen Jahrhunderts von verschiedenen Gesichtspunkten untersucht worden. Die Motivationen für diese Untersuchungen kommen aus der Geometrie, der Potentialtheorie, der numerischen Mathematik und vielen anderen Bereichen. Im Rahmen des Projektes sollen verschiedene Methoden zur Verteilung von Punkten auf Sphären untersucht werden: zahlentheoretische Konstruktionen, die auf modularen Formen basieren, Verteilungen minimaler diskreter Energie und sphärische Designs. Die verschiedenen Konstruktionen sollen einerseits theoretisch unter Verwendung von diversen Verteilungsmaßen behandelt werden, andererseits sollen numerische Vergleiche angestellt werden. Die Untersuchung von Ziffernfunktionen hat ihren Ursprung in der Zahlentheorie und der Ergodentheorie. Solche Funktionen haben Anwendungen in der Konstruktion gut verteilter diskreter Punktmengen, der Beschreibung von Fraktalen und sogar in der mathematischen Physik gefunden. Hier konnten sie etwa auf das Ising-Modell für den Magnetismus, auf diskrete Schrödinger-Gleichungen und Quasi-Kristalle angewendet werden. Die ziffernmäßige Beschreibung von Fraktalen gibt die selbstähnliche Struktur wider und gibt neue Möglichkeiten, Periodizitätsphänomene zu erklären, die bei der Diffusion auf Fraktalen auftreten. Einige Probleme, die bei der Untersuchung der dynamischen Eigenschaften von Ziffernentwicklungen offen geblieben sind, sollen im Rahmen des Projektes behandelt werden.