Kompakte Abzählformen für verallgemeinerte Partitionen

Zahlen und Formeln werden gemeinhin mit Mathematik assoziiert. Dieses Projekt verbindet die beiden Begriffe. Zahlen benützt man unter anderem zum Abzählen, beispielsweise kann man schon mit Mitteln der Schulmathematik sehen, dass es insgesamt 8.145.060 verschiedene Lottotipps bei "6 aus 45" gibt. In dem Projekt geht es um die Entwicklung von effizienten Abzählmethoden - die zu zählenden Objekte stammen dabei aus den verschiedensten Bereichen, wie beispielsweise innermathematisch der Algebra und außermathematisch der statistischen Physik, wo unter anderem gewisse Molekülanordnungen gezählt werden. Es liegt in der Natur der Sache, dass man nur sehr wenige Abzählprobleme durch eine einfache Formel lösen kann. Überraschender ist jedoch, dass es MathematikerInnen noch immer schwer fällt vorauszusagen, wann ein Abzählproblem so eine einfache Lösung zulässt. Das ultimative Ziel des Projektes ist es, das diesbezügliche Verständnis entscheidend zu verbessern. Der vorgeschlagene Ansatz ist ein geometrischer, der eine bildliche Erklärung für die auftretenden Phänome liefern soll.

Das effiziente Abzählen von (verschiedensten Typen von mehr oder weniger regelmäßigen) Objekten gehört vermutlich zu den fundamentalsten Fertigkeiten von Mathematikerinnen und Mathematikern. Unter effizient verstehen wir eine Prozedur, die sehr viel weniger zeitaufwendig ist als der naive Zugang, bei dem wir einfach eine Liste aller Objekte machen, die wir dann so abzählen. In diesem Projekt haben wir verschiedene Abzählprobleme gelöst (in einem gewissen Sinne in der effizientesten Art und Weise) und dazu neue Methoden entwickelt. Eine Abzählprozedur ist ohne Zweifel sehr effizient, wenn wir eine einfache Abzählformel für die Anzahl der Objekte herleiten können, die z.B. nur die Grundrechnungsarten involviert. Für ein generisches Problem ist das im Allgemeinen unmöglich. Im Fokus des Projekts standen klassische Objekte wie Plane Partitions, Alternierende Vorzeichenmatrizen und verwandte Objekte. Abzählprobleme, die im Zusammenhang mit diesen Objekten formuliert werden können, führen immer wieder zum besten Typ von Abzählformeln, nämlich geschlossenen Produktformeln, jedoch sind die Beweise dieser Formeln dafür bekannt sehr kompliziert zu sein und wenig Einblick zu geben. In den vergangenen acht Jahren haben wir eine Reihe von neuen expliziten Abzählformeln bewiesen. Ein besonders bemerkenswertes Beispiel ist dabei, dass wir in der Lage waren, die letzte offene Vermutung im Programm über die Abzählung von Symmetrieklassen von Alternierenden Vorzeichenmatrizen mittels geschlossener Produktformel zu beweisen. Die Vermutung stammt aus den 1980er Jahren und war vermutlich vor Beginn des Projekts das wichtigste offene Problem in diesem Gebiet (abhängig vom jeweiligen Geschmack natürlich) über eine geschlossene Produktformel. Interessanterweise haben wir in diesem Zusammenhang sogar eine ganze Familie von Klassen von Alternierenden Vorzeichenmatrizen gefunden, die mittels einfacher Produktformeln abzählbar sind. Noch spannender ist, dass all diese Formeln schon zuvor bei anderen Objekten aufgetaucht sind, sei es als Formel für die Anzahl aller Alternierenden Vorzeichenmatrizen oder für die Anzahl von gewissen Plane Partitions. Dieser Umstand ist alles andere als offensichtlich. Damit kommen wir zu einer weiteren sehr wichtigen und herausfordernden klassischen Frage, nämlich der nach expliziten Erklärungen für die Beziehungen zwischen diesen Objekten, die durch dieselbe Formel abgezählt werden. Solchen Problemen versucht man sich anzunähern, in dem man Parameter ndet, die auf den zwei Typen dieselbe Verteilung haben. Bisher war man bei der Suche nach solchen Parametern mehr auf die Intuition (oder Geduld und Progammierfertigkeit) angewiesen, ein weiterer Beitrag des Projektes ist, dass wir Methoden entwickelt haben, um solche Parameter systematischer zu identizieren.