Geometrie stochastischer Differentialgleichungen

Das Forschungsprojekt beschäftigt sich mit sensiblen Eigenschaften von Lösungen stochastischer Differentialgleichungen. Einerseits versuchen wir Bedingungen über deren qualitatives Verhalten zu finden, die Fragen à la "Wohin entwickelt sich der Prozess?" oder "Gibt es invariant Mengen?" beantworten. Wir möchten diese Bedingungen im Falle von Lévy-angetriebenen Stochastischen Differentialgleichungen angeben. Diese Klasse kommt oft in finanzmathematischen Modellen vor. Andererseits möchten wir diese Prozesse auch quantitativ besser verstehen. In der Finanzmathematik, so wie in vielen anderen Teilen der angewandten Mathematik, ist es von Bedeutung, dass die approximierenden Prozesse manche Eigenschaften mit dem zu approximierenden Prozess teilen. Kubaturformeln sind Approximationsmethoden, wobei die wichtigsten geometrischen Eigenschaften erhalten bleiben. Diese Algorithmen sind im wesentlichen determinstische und man kann sie auch für hochdimensionale Probleme anwenden. Wir werden versuchen Kubaturformeln in verschiedenen allgemeinen Zusammenhängen zu entwickeln, und wir werden versuchen diese Algorithmen durch Rekombinationsargumente berechenbar zu machen. Das Forschungsprojekt ist ein Beispiel für Grundlagenforschung, die durch Anwendungen motiviert ist, und ebenso für Fragestellungen aus der Anwendung, die durch moderne Grundlagenforschung beantwortet werden können.

Das Forschungsprojekt beschäftigt sich mit sensiblen Eigenschaften von Lösungen stochastischer Differentialgleichungen. Einerseits versuchen wir Bedingungen über deren qualitatives Verhalten zu finden, die Fragen à la "Wohin entwickelt sich der Prozess?" oder "Gibt es invariant Mengen?" beantworten. Wir möchten diese Bedingungen im Falle von Lévy-angetriebenen Stochastischen Differentialgleichungen angeben. Diese Klasse kommt oft in finanzmathematischen Modellen vor. Andererseits möchten wir diese Prozesse auch quantitativ besser verstehen. In der Finanzmathematik, so wie in vielen anderen Teilen der angewandten Mathematik, ist es von Bedeutung, dass die approximierenden Prozesse manche Eigenschaften mit dem zu approximierenden Prozess teilen. Kubaturformeln sind Approximationsmethoden, wobei die wichtigsten geometrischen Eigenschaften erhalten bleiben. Diese Algorithmen sind im wesentlichen determinstische und man kann sie auch für hochdimensionale Probleme anwenden. Wir werden versuchen Kubaturformeln in verschiedenen allgemeinen Zusammenhängen zu entwickeln, und wir werden versuchen diese Algorithmen durch Rekombinationsargumente berechenbar zu machen. Das Forschungsprojekt ist ein Beispiel für Grundlagenforschung, die durch Anwendungen motiviert ist, und ebenso für Fragestellungen aus der Anwendung, die durch moderne Grundlagenforschung beantwortet werden können.