Tensor-Netzwerke für Quantenvielteilchensysteme

Quantenvielteilchensysteme sind faszinierende Systeme, die in vielfältigen Bereichen der Physik wie der Festkörper- und Hochenergie-Physik, der Quantenchemie und der Quanteninformationstheorie eine zentrale Rolle spielen. Ihre allgemeine Beschreibung ist jedoch extrem aufwendig, da die Größe der Beschreibung sich mit jedem neu hinzugefügten Teilchen verdoppelt. Glücklicherweise sind jene Quantenvielteilchensysteme, die in der Natur entstehen, sehr speziell, weil sie nur lokale Korrelationen enthalten und daher sehr effizient beschrieben werden können. Tensor- Netzwerke sind eine Familie von Quantenzuständen, die darauf abzielen, diese speziellen Zustände in einer skalierbaren Art zu beschreiben. Sie haben sich als äußerst erfolgreich für die Beschreibung von Grundzuständen in einer Raumdimension bewährt, und einige Fortschritte für den allgemeineren eindimensionale Mischzuständen und für zweidimensionalen Zuständen gemacht worden sind. Das vorliegende Projekt mit dem Titel Tensor-Netzwerke für Quantenvielteilchensysteme zielt darauf ab, unser Verständnis von Quantenvielteilchensystemen mithilfe von Tensor-Netzwerken zu vertiefen, insbesondere in Bezug auf die zwei folgenden Aspekte. Teil A konzentriert sich auf gemischte Quantenzustände, die der allgemeine Rahmen für die Beschreibung von Zuständen sind, seien es thermische Zustände, Systeme außerhalb des Gleichgewichts oder bei fehlenden Kenntnissen über das System. Eine grundlegende mathematische Eigenschaft eines Zustands ist, dass die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Messergebnisse positive Zahlen sind. Es ist wünschenswert, sowohl für theoretische als auch für numerische Gründen, diese Positivität auf den lokalen Matrizen durchzusetzen, die die Bausteine des Tensor-Netzwerksformalismus sind, aber es war für 20 Jahre unbekannt, was die Kosten für diese Durchsetzung sind. Mithilfe einer Verbindung zu konvexen algebraischen Geometrie haben wir vor kurzem gezeigt, dass diese Kosten beliebig hoch sein können, und dass dieses Problem im annährenden Fall wesentlich einfacher sein kann. In diesem Projekt wollen wir die theoretischen Konsequenzen dieser Erkenntnisse erkunden. Das wird uns erlauben, effizientere und robustere Beschreibungenvon Quantenvielteilchensystemen mit Tensor-Netzwerken zu erhalten, sowie stabiler und zuverlässiger numerischer Algorithmen zu konzipieren. Teil B betrifft die Frage Welche diskrete Zustände haben einen Kontinuumslimes?. Wir wollen von einer Tensor-Netzwerkeperspektive systematisch untersuchen, welche Zustände grobkörnige Beschreibungen eines anderen Zustands sind, der die Physik auf viel kleiner Skala beschreibt. Wir haben vor kurzem diese Frage für eindimensionale Zustände untersucht und haben eine mathematisch strenge Klassifikation der Kontinuumslimites mit Quanteninformationsinstrumente etabliert. Wir wollen nun diese Analyse auf allgemeinere und realistischere Szenarien erweitern, sowie auf zweidimensionale Systeme verallgemeinern.

Die meisten Sachen in dieser Welt sind zu kompliziert um mathematisch genau beschreibbar zu sein. Beispielsweise ist es nicht möglich das Verhalten aller Luftmoleküle in der Atmosphäre zu beschreiben, weil es zu viele Variablen gibt. Stattdessen muss man effektive Modelle entwickeln, um das Wetter zu simulieren. Offensichtlich werden bessere Modele uns erlauben, das Wetter besser hervorsagen zu können. Das Selbe gilt für Quantensysteme: Viele Quantenteilchen genau zu beschreiben ist zu kompliziert. Hierfür haben Physikerinnen effektive Modelle entwickelt, welche Tensornetzwerke heißen. Diese Modelle funktionieren sehr gut für die einfachsten Quantensysteme, nämlich für reine Zustände. Um unseren Kenntnismangel berücksichtigen zu können, müssen wir gemischte Zustände benutzen. Gemischte Zustände sind essentiell, um Quantenexperimente zu beschrieben (einschließlich experimentelle Quantencomputer), oder Phänomene in der Festkörperphysik. Deswegen können besser Modelle für gemischte Zustände uns helfen, diese Situationen besser zu verstehen. Leider ist die Beschreibung von gemischten Zuständen mit Tensornetzwerken weniger ausgereift, da sie mathematisch viel schwieriger ist. Zum Beispiel gibt es Zustände, die zwar sehr einfach zu beschreiben sind, aber die viele Korrelationen beinhalten. In diesem Projekt haben wir bewiesen, dass dieses Problem mit anderen mathematischen Problemen verwandt ist. Mit dieser Verbindung haben wir gezeigt, dass wenn ein Zustand die zweit einfachste Beschreibung hat (d.h. zwei Matrizen pro Stelle), dann kann er nur sehr wenige klassische Korrelationen beinhalten. Eine andere Forschungslinie beschäftigt sich mit dem Kontinuumslimes von Zuständen. Was ist ein Kontinuumslimes? Betrachtet man beispielsweise einen Fluss, so besteht dieser mikroskopisch aus vielen einzelnen Wassermolekülen. Dennoch ist die Strömung eines Flusses kontinuierlich und deswegen haben die Wassermoleküle einen Kontinuumslimes. Andere Systeme hingegen haben keinen Kontinuumslimes: Die vielen Agenten, welche Aktien kaufen und verkaufen, verursachen schwankenden Aktienpreise, welche keine kontinuierliche und vereinfachte Beschreibung erlauben. In unserem Projekt sind wir der Frage nachgegangen, wann ein Quantenzustand einen Kontinuumslimes besitzt. Wir haben diese Frage für eine einfache Art von Tensornetzwerken beantwortet. Wir haben gezeigt, dass die Menge von Zuständen, die mit einem Tensornetzwerk beschreibar ist vergrößert werden muss.