Klassifikation relationaler Strukturen bezüglich Einbettbarkeit

Relationale Strukturen sind in allen Gebieten der Mathematik und Informatik allgegenwärtig. Ich untersuche insbesondere Strukturen mit einer einzelnen zweistelligen Relation wie etwa Graphen, lineare Ordnungen und Bäume und solche mit einer zusätzlichen topologischen Struktur wie zum Beispiel Boolesche Algebren und geordnete topologische Räume. Die von mir benutzten Methoden sind mengentheoretisch, hauptsächlich aus der unendlichen Kombinatorik und dem Forcing. Meine Arbeit hat Anwendungen in der Maßtheorie, Topologie, Modelltheorie, Ordnungstheorie und Graphentheorie. Das Ziel des Projekts ist eine Klassifikation dieser Arten von relationalen Strukturen bezüglich ihrer Einbettbarkeitsrelationen. Im Rahmen dieser Forschung konzentriere ich mich auf drei Teilprojekte, die den maximalen Elementen der Einbettbarkeitsquasiordnungen (auf universelle Modelle), den internen Strukturen der Relation und ihren minimalen Elementen (Basen) entsprechen. Das erste Teilprojekt besteht darin die Universalitätsspektren der verschiedenen Typen von relationalen Strukturen zu bestimmen und Zusammenhänge zwischen ihnen zu finden. Universelle Modelle dienen nicht nur zur Klassifikation sondern sind auch an sich wichtige und gut untersuchte Strukturen. Universalität ist ein aktives Forschungsfeld und die Ergebnisse wurden sehr erfolgreich angewendet, um Typen von Strukturen in modelltheoretischer Hinsicht zu klassifizieren. Allerdings verhalten sich nichtelementare Klassen von Strukturen in modelltheoretischer Hinsicht schlecht, weswegen ich in meinem Projekt diese Fragen mit mengentheoretischen Methoden untersuchen werde. Das zweite Teilprojekt ist die Untersuchung der internen Strukturen der Einbettbarkeitsrelationen. Die Fragen hier beinhalten sowohl Ketten und Antiketten in diesen Quasiordnungen als auch unbeschränkte und dominierende Familien. Außerdem möchten wir diejenigen Ordnungen klassifizieren, die Verallgemeinerungen von Dichtheit und Zerstreutheit erfüllen. Diese Klassifikation hat die Form einer konstruktiven Hierarchie und ist daher nützlich, um strukturelle und kombinatorische Sätze über solche Strukturen zu beweisen. Ich beabsichtige diese Resultate auf Ordnungen auszudehnen, die zerstreut in einem stärkeren Sinn sind. Im dritten Teilprojekt sollen kleine Basen für verschiedenen Klassen von Strukturen gefunden werden. Es ist konsistent, dass eine fünfelementige Basis für lineare Ordnungen existiert. Es ist möglich, dass ähnliche Basen auch für andere elementare Klassen existieren aber man vermutet, dass für die meisten nichtelementaren Klassen keine endlichen Basen existieren. In meiner bisherige Forschung habe ich tiefliegende Zusammenhänge zwischen verschiedenen Typen von relationalen Strukturen anhand ihrer Einbettbarkeitsrelationen gefunden. Diese Zusammenhänge haben sich als sehr nützlich erwiesen, um neue Zugänge zu den obigen Fragen zu finden. Ich bin davon überzeugt, auf dieser Grundlage neue Zusammenhänge und Anwendungen zu finden.

Relationale Strukturen sind in allen Gebieten der Mathematik und Informatik allgegenwärtig. In diesem Projekt wurden insbesondere Strukturen mit einer einzelnen zweistelligen Relation wie etwa Graphen, Ordnungen und Bäume untersucht. Die Methoden sind mengentheoretisch, aber die Arbeit hat Anwendungen in anderen mathematischen Gebieten. Das Ziel des Projekts war eine Klassifikation von Klassen relationaler Strukturen bezüglich ihrer Einbettbarkeitrelation. Eine Einbettung zwischen zwei Strukturen ist eine strukturerhaltene Abbildung von der einen in die andere Struktur. Nun kann man die Klasse der betrachteten relationalen Strukturen mit ihrer Einbettbarkeitsrelation, einer Quasi-Ordnung, betrachten. Das liefert eine abstrakte Perspektive aus der sich verschiedene Klassen relationaler Strukturen vergleichen lassen.Eine wichtige Testfrage für jede Klasse relationaler Strukturen ist die Frage, ob die Quasi-Ordnung ein maximales Element besitzt, ob es also in der Klasse eine relationale Struktur gibt, in die sich alle anderen Strukturen in der Klasse einbetten lassen. Diese sogenannte universelle Struktur enthält Informationen über alle anderen Elemente der Klasse. Es ist gelungen, zu zeigen, dass die Klasse der abzählbaren linearen Ordnungen mit stetigen, ordnungserhaltenden Einbettungen eine universelle Struktur besitzt, nämlich die lineare Ordnung der rationalen Zahlen. Ebenso besitzt die Klasse der separablen linearen Ordnungen mit stetigen, ordnungserhaltenden Einbettungen eine universelle Struktur, nämlich die lineare Ordnung der reellen Zahlen. Im allgemeinen ist es jedoch so, dass lineare Ordnungen, die universell für eine gewisse Klasse linearer Ordnungen mit ordnungserhaltenden Einbettungen sind, nicht universell für dieselbe Klasse linearer Ordungen mit stetigen, ordnungserhaltenden Einbettungen sind. Das zeigt, dass die stetigen, ordnungserhaltenden Einbettung echt komplizierter sind als die nur ordnungserhaltenden Einbettungen.Am anderen Ende des Spektrums befinden sich die minimalen Elemente einer Klasse relationaler Strukturen. Eine Basis einer Klasse von Strukturen ist eine Menge von Strukturen aus der Klasse, so dass sich in jede Struktur ein Basiselement einbetten lässt. Es ist bekannt, dass es möglich ist, dass unter gewissen Annahmen die Klasse der überabzählbaren linearen Ordnungen mit ordnungserhaltenden Einbettungen eine Basis aus fünf Elementen besitzt. Unter denselben Annahmen erhalten wir ein elfelementige Basis der Klasse der überabzählbaren Ordnungen mit stetigen ordnungserhaltenden Einbettungen.Das Projekt hat tiefliegende Zusammenhänge zwischen verschiedenen Klassen relationaler Strukturen und ihren Einbettbarkeitsrelationen aufgezeigt. Dabei wurden interessante neue Methoden entwickelt, die sich auch in anderen Gebieten gewinnbringend einsetzen lassen werden.